LE LEGGI DEL MONDO FISICO

RIFLETTIAMO SULLE ESPERIENZE QUOTIDIANE PER SPIEGARE CON PAROLE SEMPLICI E CON QUALCHE FORMULA LE LEGGI SCRITTE DA DIO NELLA STRUTTURA DEL MONDO FISICO

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LA SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA DEI SISTEMI MATERIALI IN MOTO ROTATORIO

Per enunciare questa legge fondamentale della natura bisogna definire il momento di una forza ed il momento risultante di un sistema di forze.
Se consideriamo il semplice esempio di una sbarra libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per uno dei suoi estremi, e teniamo presente che, se la sbarra è omogenea, cioè tutta fatta dello stesso materiale, la forza peso si può considerare applicata nel suo baricentro, cioè nel suo punto medio, ci rendiamo subito conto che l'equilibrio stabile della sbarra si può ottenere soltanto quando essa si dispone verticalmente.
Essa infatti non è altro che un pendolo fisico (non ideale) che, quando non oscilla , raggiunge la posizione di equilibrio stabile soltanto quando si dispone verticalmente, con il baricentro giacente lungo la verticale abbassata dall'asse orizzontale di rotazione.
Infatti, soltanto in tale posizione la forza peso non ha momento rispetto all'asse di rotazione e non può determinare alcuna rotazione; pertanto la sbarra, se non oscilla e si trova già nella posizione di equilibrio stabile, vi rimane indefinitamente, fino a quando essa non venga fatta oscillare applicandole per un brevissimo intervallo di tempo una forza che abbia momento rispetto all'asse di rotazione.
Affinchè la suddetta forza abbia momento rispetto all'asse di rotazione, occorre che essa sia caratterizzata da un "braccio di leva" rispetto ad esso, occorre cioè che la direzione della forza applicata non passi per l'asse di rotazione.
La distanza tra l'asse di rotazione e la retta (linea d'azione) che rappresenta la direzione della forza è il "braccio" della forza rispetto all'asse di rotazione.
Se, per esempio la forza applicata ha l'intensità di 1 kg-peso ~= 9,8 N (newton) e la sua linea d'azione dista 10 cm = 0,1 m dall'asse di rotazione, il momento M della forza F si ottiene moltiplicando l'intensità della forza per il braccio b = 0,1 m :
M = F b = 1 x 0,1 = 0,1 kg-peso x metro, oppure:
M = F b = 9,8 x 0,1 = 0,98 N . m (newton x metro).
Quando la sbarra oscilla, il momento della forza peso P rispetto all'asse di rotazione è dato dal prodotto M = P b del peso per il braccio, che in questo caso coincide con la distanza tra l'asse di rotazione e la retta verticale passante per il baricentro.
Il momento della forza peso è proporzionale a tale distanza, si annulla quando il baricentro si trova sotto l'asse di rotazione , in quanto in tale posizione il braccio è nullo, e cambia segno quando la sbarra oltrepassa la posizione di equilibrio, in cui il braccio è nullo.
Successivamente, la sbarra, completata l'oscillazione, tende a ritornare nella posizione di equilibrio e la oltrepassa, continuando ad oscillare fino a quando le forze di attrito non ne abbiano dissipato tutta l'energia cinetica fino a farla fermare nella posizione di equilibrio.
Se ad un corpo rigido libero di ruotare attorno ad un asse vengono applicate diverse forze, il momento totale (momento risultante) agente sul corpo si ottiene sommando tutti i momenti delle forze che tendono a farlo ruotare in un verso e sottraendo tutti i momenti che tendono a farlo ruotare nel verso opposto.
Nel moto rotatorio il momento svolge un ruolo analogo a quello della forza nel moto traslatorio (moto di un corpo che non ruota attorno ad un proprio asse), in quanto produce un moto rotatorio accelerato, cioè un' accelerazione angolare rispetto all'asse di rotazione.
In pratica, per valutare l'effetto rotatorio (momento torcente) di un sistema di forze, indipendentemente dal braccio di ciascuna di esse rispetto all'asse di rotazione, si considera il momento di una coppia di forze parallele, aventi la stessa intensità e versi opposti, che siano equivalenti al sistema di forze (coppia risultante).
Il momento di una coppia viene definito senza considerare il braccio di ciascuna delle due forze rispetto all'asse di rotazione, ma calcolando il prodotto della loro intensità per la distanza tra le loro linee d'azione, che è il braccio della coppia.
Se si sa che la coppia motrice (momento torcente) sviluppata da un motore di qualsiasi tipo ha il valore di 100 kg-peso x metro, significa che le due forze antiparallele che la costituiscono possono avere ciascuna l'intensità di 50 kg-peso ed un braccio di 2 m, oppure l'intensità di 500 kg-peso ed un braccio di 0,2 m= 20 cm, oppure una qualsiasi coppia di fattori forza x braccio che dia un prodotto di 100 kg-peso x metro.
In modo equivalente si può dire che il momento della coppia generata dal motore può essere equilibrato dal momento di una forza di 1000 kg-peso applicata tangenzialmente ad una distanza di 0,1 m = 10 cm dall' asse di rotazione, per esempio utilizzando una puleggia con un raggio di 10 cm, dotata di una gola e di una fune per applicare la forza equilibrante in verso tale da tendere a bloccare la rotazione dell'albero motore.
In alternativa, il momento della coppia motrice potrebbe essere equilibrato dal momento di una forza di 100 kg-peso, applicata tangenzialmente mediante un fune ancorata alla gola di una puleggia con raggio di 1 metro.
In altri termini, vale la ben nota regola d'oro derivante dalla teoria della leva di Archimede: la forza F che bisogna applicare ad un corpo rigido libero di ruotare attorno ad un asse per ottenere un momento che possa equilibrare una coppia motrice C applicata al corpo rigido,
è inversamente proporzionale al braccio di leva b :
C = F b ; F = C/b.
La regola d'oro afferma che quanto minore è l'intensità della forza F impiegata, tanto maggiore deve essere la distanza (braccio b) del punto di applicazione della forza dall'asse di rotazione.
Se consideriamo che la lunghezza s dell' arco di circonferenza descritto dal punto di applicazione della forza, per una rotazione di n radianti, è direttamente proporzionale al braccio b , che coincide con il raggio r della puleggia ( s = b n ) , ci rendiamo conto che il lavoro meccanico L che deve essere fatto per equilibrare l'effetto della coppia motrice C è L = F.s = F b n, e che pertanto, essendo il cammino s inversamente proporzionale alla forza applicata F, il vantaggio che si ottiene con la riduzione dell'intensità della forza che deve essere applicata, si paga con lo svantaggio derivante dal maggiore cammino richiesto.
Un' analoga regola d'oro vale per il cambio di velocità di un' auto, la cui struttura deriva dal perfezionamento del cambio di velocità inventato da Leonardo da Vinci.

I Esempio

Il cambio di velocità di un' auto è un convertitore di coppia che consente di utilizzare la potenza meccanica generata dal motore nelle condizioni più adatte al carico meccanico che si ha nelle varie condizioni di guida (partenza, marcia in salita, marcia in discesa, retromarcia , marcia in rettilineo ad alta velocità con basso carico meccanico).
Se P è la potenza sviluppata dal motore, con il cambio si può trasmettere alle ruote motrici di un' auto, a seconda delle esigenze di marcia, una coppia motrice massima C_max con una velocità angolare minima w_min ( P = C_max w_min ), oppure una coppia motrice minima Cmin con una velocità angolare massima w_max (P = C_min w_max ).
La regola d'oro in questo caso stabilisce che il vantaggio di disporre di un grande momento torcente (coppia) si paga con una minore velocità del veicolo.
Quando viene inserita una marcia bassa (I, II,), mediante un opportuno sistema di ingranaggi si ottiene una riduzione del numero N₁ dei giri al minuto (direttamente proporzionale a w ) ed una coppia C₁ maggiore, necessaria per poter vincere sforzi molto grandi, a parità di potenza (P) sviluppata dal motore (partenza in salita, marcia in salita).
Se invece viene inserita una marcia alta (III, IV, V), si ottiene una coppia C₂ minore aumentando il numero N₂ dei giri, a parità di potenza sviluppata dal motore: C₁ N₁ = C₂N₂= P.
Nel moto rotatorio la grandezza fisica che determina l'attitudine di un sistema materiale rigido a resistere all'azione acceleratrice di un momento è il momento d'inerzia J (inerzia rotazionale), che dipende da come è distribuita la massa rispetto all'asse di rotazione, cioè dai quadrati delle distanze tra le masse che costituiscono il sistema e l'asse fisso di rotazione.
Se, per esempio, consideriamo una sbarra metallica avente massa M, lunghezza L, libera di ruotare intorno ad un asse fisso, se l'asse passa per il punto medio della sbarra,il momento d'inerzia è J = (1/12) ML²; se invece l'asse di rotazione passa per un estremo, il momento d'inerzia è 4 volte maggiore: J = (1/3) ML² , in quanto gran parte della massa è più distante dall'asse di rotazione, il che determina una maggiore inerzia rotazionale.
Nel moto rotatorio la grandezza analoga alla quantità di moto di un corpo in moto traslatorio, è il momento angolare L o momento della quantità di moto , che si ottiene considerando la somma dei prodotti delle quantità di moto P_i = M_iV_i delle singole masse che compongono un sistema materiale per i bracci b_i rispetto all'asse di rotazione:
L = P₁ b₁ + P₂b₂ + P_n b_n = M₁V₁ b₁ + M₂V₂b₂ + + M₃V₃ b₃.
Nel caso di un corpo rigido libero di ruotare attorno ad un asse fisso,il momento angolare L si ottiene moltiplicando il momento d'inerzia J (espresso in kg.m² ) per la velocità angolare w = 2p N/60 (espressa in radianti/ secondo) , dove N è il numero di giri/minuto: L = J w . L'analogia con la legge di Galilei-Newton F = dP/dt = M dV/dt = Ma ci consente di scrivere la seconda legge della dinamica per i corpi rigidi in rotazione attorno ad un asse fisso (II legge della dinamica rotazionale) : M = dL/dt = J dw/dt = Ja (a è l'accelerazione angolare del moto rotatorio).
Se, in particolare, il momento M delle forze esterne è costante, si ottiene un moto rotatorio con accelerazione costante, per il quale la variazione del momento angolare in un intervallo di tempo Dt è direttamente proporzionale al momento risultante M delle forze esterne che accelerano il corpo rigido:
                M Dt = L_finale - L_iniziale = J (w _finale - w _iniziale) .

II Esempio

Lo studio del moto di precessione di una trottola si studia applicando la II legge della dinamica rotazionale.
Ponendo una trottola in rapida rotazione, si nota che al diminuire della velocità di rotazione per effetto della resistenza dell'aria e delle forze di attrito che agiscono tra la punta della trottola ed il piano di appoggio, l'asse della trottola si inclina sempre più rispetto alla verticale descrivendo la superficie laterale di un cono, che prende il nome di cono di precessione.
La precessione dell'asse di una trottola è analoga al moto di precessione dell'asse di rotazione della Terra, che è inclinato di 23° 27' rispetto alla perpendicolare al piano dell'orbita (piano dell'eclittica) e compie un giro in circa 26000 anni (anno platonico), determinando il fenomeno della precessione degli equinozi, che consiste nel sistematico anticipo delle date degli equinozi rispetto a quelle dell'anno precedente.
Nel caso della trottola la precessione dell'asse di rotazione, che dopo un certo intervallo di tempo, più o meno lungo a seconda della maggiore o minore velocità iniziale di rotazione, determina inevitabilmente l'instabilità del moto, è dovuta al momento della forza-peso applicata al baricentro della trottola, calcolato rispetto al punto d'appoggio.
Questo momento perturbatore dà origine ad un piccolo momento angolare aggiuntivo, che agisce perpendicolarmente all'asse di rotazione e si somma vettorialmente al momento angolare principale, relativo all'asse di rotazione.
Pertanto l'asse è costretto a descrivere la superficie laterale di un cono di precessione, che diventa tanto più ampio quanto minore è la velocità di rotazione della trottola, fino a quando questa cessa di ruotare.
Nel caso della Terra, il moto precessionale è causato dalle forze gravitazionali esercitate dalla Luna e dal Sole sulla zona equatoriale della Terra, che risulta un po' schiacciata ai poli.

IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

In un sistema materiale, per il terzo principio della dinamica, i momenti delle forze interne si annullano a due a due, in quanto si tratta di forze di azione e reazione che danno luogo a momenti uguali e contrari.
Pertanto, se è nullo il momento risultante M delle forze esterne, si annulla la variazione del momento angolare dLtotale/dt = M = 0 per unità di tempo, ed il momento angolare totale rimane costante, cioè si conserva:
L_totale = L₁ + L₂ + L₃+ ... L_n = costante
(Principio di conservazione del momento angolare).

I Esempio

Se consideriamo il moto di un pianeta intorno al Sole, trascurando per semplicità i momenti delle forze gravitazionali degli altri pianeti, ci rendiamo conto che, essendo uguali e contrarie le forze interne di attrazione gravitazionale esercitate dal Sole sul pianeta e dal pianeta sul Sole, è nullo il loro momento risultante, e di conseguenza si mantiene costante il momento angolare L = MVb associato al moto del pianeta lungo l'orbita ellittica.
Essendo b la distanza tra la tangente all'orbita ellittica (direzione della velocità orbitale) ed il Sole, che coincide con uno dei fuochi
dell' ellisse, la velocità orbitale V è inversamente proporzionale a b, che a sua volta cresce al crescere della distanza del pianeta dal Sole.
Pertanto la velocità orbitale del pianeta è minima in corrispondenza dell'afelio (punto di massima distanza dal Sole) e massima in corrispondenza del perielio (punto di minima distanza dal Sole).
Dalla conservazione del momento angolare del pianeta si deduce che l'area descritta dalla retta congiungente il pianeta con il Sole è direttamente proporzionale al tempo ( II legge di Keplero, legge delle aree).

II Esempio

Il principiodi conservazione del momento angolare, applicato alle masse d'aria in rotazione, rende conto dei vortici associati a cicloni, trombe d'aria e trombe marine.
Infatti, poichè l'unica forza esterna agente su una massa d'aria in rotazione è quella di gravità, la quale, essendo diretta verticalmente, non ha momento rispetto all'asse verticale della massa d'aria in rotazione, ne consegue la conservazione del momento angolare.
Pertanto, se una massa d'aria rotante a bassa velocità viene spinta dalla differenza di pressione (gradiente barico) verso il centro dell'area ciclonica, la sua velocità angolare aumenta rapidamente avvicinandosi al centro della depressione, che corrisponde all'occhio del ciclone (centro del vortice).
Fenomeni analoghi si verificano nelle trombe d'aria e nelle trombe marine, le quali, a causa della fortissima depressione che si genera al centro del vortice, risucchiano tutto quanto venga a trovarsi lungo la loro traiettoria di distruzione.
Il principio di conservazione del momento angolare spiega, in particolare, la formazione del vortice che si osserva togliendo il tappo dallo scarico posto sul fondo di una vasca.
La velocità tangenziale V di una massa liquida M a distanza R dall'orifizio, aumenta in modo inversamente proporzionale al decrescere della distanza R : Vo Ro = V R .
Infatti, poichè la forza di gravità non ha momento rispetto all'orifizio, il momento angolare si conserva :
MVoRo = MVR.

III Esempio

Il funzionamento di un giroscopio e di una bussola giroscopica, che sono costituiti da un massiccio disco metallico rotante ad alta velocità ed in condizioni di attrito minimo in corrispondenza dei cuscinetti di cui è dotata la sospensione cardanica che lo sostiene, si spiega con il principio di conservazione del momento angolare.
Poichè l'attrito è trascurabile e la forza di gravità non ha momento rispetto all'asse di rotazione del giroscopio, in quanto la sua linea d'azione passa per baricentro del disco, il momento angolare del disco si conserva, e siccome si tratta di una grandezza vettoriale, di cui si conservano modulo e direzione, l'asse del giroscopio rimane sempre orientato nella direzione iniziale , funzionando come bussola giroscopica.

IV Esempio

Il funzionamento di biciclette e motociclette si basa sul principio di conservazione del momento angolare.
Infatti, se il ciclista o il motociclista fanno in modo che la forza di gravità applicata al baricentro del sistema costituito dal guidatore e dal veicolo, non abbia momento rispetto ai punti d'appoggio tra le ruote e la strada (condizione di equilibrio instabile), il momento angolare del sistema rimane quasi costante in valore e direzione, tendendo a mantenere le ruote in un piano quasi verticale .
Diciamo quasi perchè, a causa delle forze d'attrito e della variabilità della coppia motrice applicata alle ruote in relazione alle condizioni di marcia, la velocità ed il momento angolare delle ruote sono soggetti a variazioni, che fanno variare l'inclinazione delle ruote rispetto al piano verticale.

V Esempio

Il principio di conservazione del momento angolare è essenziale per spiegare tanti altri fenomeni dinamici, quali, per esempio, le piroette delle ballerine e dei ginnasti.
Una ballerina, facendo perno su un piede e contraendo o distendendo gli arti superiori ed inferiori, è in grado di ruotare su se stessa con velocità angolare rispettivamente crescente o decrescente.
Infatti, la contrazione degli arti verso l'asse di rotazione della ballerina, determina un minore momento d'inerzia J, in quanto la massa è maggiormente distribuita in prossimità dell'asse di rotazione ; quindi, mantenendosi quasi costante il momento angolare L =Jw , la velocità angolare w aumenta.
Si verifica il contrario se la ballerina distende gli arti.
Se un sistema materiale è costituito da corpi che ruotano attorno ad un punto fisso e contemporaneamente sono dotati di un moto di rotazione intrinseca (ciascuno attorno al proprio asse), ed è nullo il momento risultante delle forze esterne al sistema, si conserva il momento angolare totale del sistema , definito dalla somma vettoriale dei momenti angolari intrinseci e dei momenti angolari di rotazione attorno al punto fisso.
In questo caso si possono verificare non soltanto variazioni dei singoli momenti angolari di rotazione rispetto al punto fisso, ma anche conversioni di momento angolare intrinseco in momento angolare di rotazione rispetto al punto fisso, e viceversa, purchè la somma vettoriale di tutti i momenti angolari si mantenga costante.

VI Esempio

Con il principio di conservazione del momento angolare si spiega l'allontanamento della Luna dalla Terra per effetto dell' attrito delle maree.
Infatti l' effetto dell'attrazione gravitazionale lunare sulle acque marine determina una deformazione a simmetria ovale della superficie libera degli oceani, che segue il moto orbitale della Luna, che è circa 27,5 volte più lento del moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse.
Il conseguente attrito tra le acque marine e la crosta terrestre determina una continua diminuzione della velocità angolare, dell'energia cinetica e del momento angolare rotazionale della Terra ed un conseguente aumento del suo periodo di rotazione (giorno) di circa 16 decimillesimi di secondo in un secolo.

La diminuzione del momento angolare di rotazione della Terra , per effetto del principio di conservazione del momento angolare totale del sistema Terra-Luna, viene compensata da un aumento del momento angolare orbitale della Luna, se si considerano trascurabili, in prima approssimazione, la variazione del momento angolare di rotazione della Luna attorno al proprio asse ed il valor medio del momento risultante delle forze esterne esercitate dal Sole e dagli altri pianeti.
Il momento angolare orbitale della Luna è dato dalla formula:
     L_{orbita lunare} = M_lunareV_lunare R_Terra-Luna =
     = M_lunare w_lunareR²_Terra-Luna , dove w_lunare = 2p/T_lunare ~=
= 2p/ (27,5 giorni * 24 ore * 3600 secondi) è la velocità angolare orbitale della Luna.
Pertanto la distanza R_Terra-Luna della Luna dalla Terra tende ad aumentare molto lentamente .
Gli specchi posti sulla Luna dagli astronauti delle missioni Apollo hanno consentito di determinare, mediante raggi laser, che la Luna si allontana dalla Terra di circa 1 centimetro l'anno.
Il principio di conservazione del momento angolare ha un'importanza fondamentale anche per lo studio del microcosmo, nonostante le leggi fondamentali di Galilei-Newton non si possano più applicare alle particelle elementari subatomiche.
Infatti in fisica atomica, nucleare e subnucleare e nella teoria quantistica dei campi si considerano, oltre ai momenti angolari di rotazione (orbitali), anche i momenti angolari intrinseci delle particelle dotate di spin, cioè di un momento angolare intrinseco dovuto alla rotazione della particella attorno ad un proprio asse , anche se i principi della meccanica quantistica impediscono che i momenti angolari orbitali e di spin assumano qualsiasi valore, ma soltanto determinati valori (autovalori), in accordo con la quantizzazione delle grandezze fisiche dei sistemi del microcosmo.

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