Gent. ma Francesca,
- Se Vi = 3 mc., pi = 1 Kg/cmq = 3 x 9,81 /0,0001 = 2,943 x 105 N/mq, pf = 5 Kg/cmq = 5 x 9,81 /0,0001 = 4,905 x 105 N/mq,si ha:
Vf = (pi/pf)(1/g)Vi = (2,943 x 105 /4,905 x 105) (1/1,40) x 3 = 0,6 0,71428 x 3 = 2,0828 mc.
Per determinare il volume d'aria Vi alla temperatura Ti = (273 + 25) °K = 298 °K, corrispondente al volume Vf di 2,0828 mc, bisogna calcolare anzitutto la temperatura Tf al termine della compressione adiabatica, facendo sistema con l'equazione di stato pV = nRT (V = nRT/p):
nRTf/pf = (pi/pf) (1/g)nRTi/pi;
Tf = Ti(pi/pf)[(1 - g)/g] = 298 x (2,943 x 105/4,905 x 105) [(1 - 1,4)/1,4] = 298 x 0,6(-0,2857) = 344,82 °K.
Dall'equazione di stato piVi/Ti = pfVf/Tf;
Vi = (Ti/Tf) (pf/pi) Vf = (298/344,82) x (4,905 x 105/2,943 x 105 ) x 2,0828 = 2,999 mc, coincidente in pratica con i 3 mc del volume iniziale assegnato.
- Dall'equazione di stato si ottiene il numero n di moli di gas: n = pV/(RT) = (11 x 9,81/0,0001) x 0,4 /(8,31 x (180 + 273)) = 114,662 moli.
Supponendo che la temperatura finale sia di 25 °C, si ha : Tf = 298 °K.
Essendo Cv = 4,98 cal/(mole °K), si calcola la variazione di energia interna dell'aria
che si espande raffreddandosi da 453 °K a 298 °K: DU = n Cv (Tf - Ti) = 114,662 x 4,98 x (298-454) = - 8,907 x 104 cal = - 4,18 x 8,907 x 104 J = -372312,6 J = -372,3216 KJ.
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
La corsa d del pistone rimane invariata se si considerano i dati del quesito precedente:
pi = 1 atm = 1,013 x 105N/mq: pressione iniziale (z) dell'aria nel cilindro (si suppone che sia pari alla pressione atmosferica pa = 1,013 x 105N/mq;
pf = 1,1111 x 105 N/mq. pressione finale dell'aria nel cilindro, al termine della compressione adiabatica prodotta dal peso;
Vi = 2000 cmc = 0,002 mc: volume iniziale;
Vf = 1,829 x 10-3 mc: volume finale.
Ti = (15 + 273)°K = 288 °K: temperatura iniziale.
Per calcolare la temperatura finale bisogna utilizzare l'equazione della trasformazione adiabatica in funzione di T e V:
Tf = Ti (Vi/Vf)g - 1 =
288 (0,002/1,829 x 10-3 ) 1,4 - 1 = 288 x 1,093 0,4 = 298,42 °K.
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
Il procedimento adottato nella soluzione del quesito in oggetto è essenziale
per
il calcolo del volume finale Vf = 0,001829 mc = 1829 cmc, in quanto sono
noti
soltanto la pressione iniziale pi = 1,013 E 5 N/mq ed il volume iniziale Vi
= 2000 cmc, mentre la
pressione finale pf = 1,1111 E 5 N/mq si ricava dalla condizione di
equilibrio tra la stessa e la
pressione risultante da quella iniziale sommata a quella esercitata dal peso
del pistone.
Una volta nota pf, per determinare Vf bisogna imporre che il lavoro
meccanico svolto dal peso del pistone sia uguale
al lavoro di compressione eseguito sul gas.
Il calcolo di Vf può essere effettuato anche applicando l'equazione Vf=
Vi.(pi/pf)^(1/K): Vf = 0,002 x (1,013 E5/1,1111 E5) ^ 0,71428571 = 1,87 E-3
mc = 1870 cmc,
che in pratica coincide fino alle centinaia con il valore ottenuto in
precedenza (1829 cmc).
Questa discordanza tra i due metodi è dovuta fisicamente al fatto che la
compressione è stata considerata , solo idealmente, adiabatica (senza
scambio di calore con l' ambiente), per la sua breve durata.
In realtà il calcolo di Vf dovrebbe essere effettuato considerando la
compressione pressochè isotermica, con K circa unitario ed ammettendo un
piccolo scambio di calore con l'ambiente.
Infatti, per la legge di Boyle relativa alle trasformazione isotermiche, si
ha: Vf= Vi.(pi/pf) = 0,002 x (1,013 E5/1,1111 E5) = 1823,41 cmc, che
differisce da 1829 per circa lo 0,3%.
D'altra parte, se si considerasse l'espansione isotermica di n moli di gas,bisognerebbe
conoscere la temperatura ambiente Ta, che invece non è stata assegnata, ed
applicare la formula L = Pd = P (Vi - Vf)/S = -integrale (da Vi a Vf) di pdV
= - integrale (da Vi a Vf) di nRTa dV/V = - nRTa ln (Vf/Vi) = nRTa ln (Vi/Vf),
con la notevole complicazione di dover risolvere numericamente un'equazione
trascendente per determinare Vf: P(Vi - Vf)/S = nRTa ln (Vi/Vf). E' molto più
semplice pertanto considerare la compressione adiabatica ed applicare
successivamente, per una migliore approssimazione, l'equazione della
trasformazione isotermica.
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
Anzitutto segnalo l'errore nel calcolo di Pf: il calcolo esatto è:
pressione iniziale + ( peso/sezione pistone) = 1,013E5 + 9810/0,01 = 101300
+ 981000 = 1082300 N/mq = 1,0823 E6 N/mq.,
e non (pressione iniziale + peso)/sezione pistone = (101300 + 9810)/0,01 =
111110/0,01 = 11111000 N/mq.
Pertanto Vf = (- 9810 x 0,4 - 101300 x 0,01) x0,002/(- 9810 x 0,4 - 1082300
x 0,01) = (- 3924 - 1013) x 0,002/(- 3924 - 10823) = 4937 x 0,002/14747 =
0,000669559 mc = 669,559 cmc.
Applicando invece la legge di Boyle si ha: Vf = piVi/pf = 101300 x
0,002/1082300 = 0,000187193 mc = 187,193 cmc.
La notevole diversità dei valori ottenuti, se si fa il confronto con il caso precedente (P = 10 Kg = 98,1 N), è dovuta al fatto che non è più valida l'approssimazione precedente, per quanto concerne il moto di discesa del peso. Nel caso precedente la pressione prodotta dal peso (98,1/0,01 = 9810 N/mq) è pari a circa il 10 % (9,68 % ) della pressione iniziale; pertanto si può fare un'analisi dinamica approssimata, considerando trascurabile la variazione di energia cinetica rispetto alla variazione di energia potenziale che si converte in lavoro di compressione (positivo) fatto sul gas.
Nel caso precedente, mentre il lavoro fatto dal peso è L = Pd = 98,1 x 0,017 = 1,6677 J, il lavoro di compressione è L = (piVi - pfVf) /(1-K) = (202,6 - 203,22)/(-0,4) = 1,55 J.
La differenza , pari a 0,1177 J (circa 7 %) corrisponde alla variazione di energia cinetica ed al calore trasferito all'ambiente per il difetto d'isolamento termico del sistema.
L'equazione differenziale del moto della massa M è : Mdv/dt = M(d^2 y/dt^2) = Mg - pS = Mg - [pi (Vi/V)^K]S = Mg - [pi (S yi/S y)^K] S = Mg - [pi (yi/y)^K] S .
Il termine dipendente dalla quota y si può considerare quasi costante, in prima approssimazione, soltanto se, come nel caso precedente, la variazione di y (corsa d = yi - yf) è piccola (1,7 cm) (yi = 0,002/0,01 = 0,2 m = 20 cm, circa uguale a yf), il che equivale a considerare quasi uguali i volumi Vi (2000 cmc) e Vf (1829 cmc). Soltanto facendo quest'approssimazione si può semplificare la soluzione, ritenendo pressochè uniformemente accelerato (con accelerazione costante a = dv/dt = g - pi S/M = 9,81 - 101300x 0,01/10 = (9,81 - 101,3) m/s^2 = -91,49 m/s^2 ) il moto di M.
In particolare, se M fosse tale da ottenere l'uguaglianza tra g e piS/M (a = 0), il moto di M avverrebbe con velocità costante .
In realtà, poichè un gas compresso in un volume variabile (come avviene in uno pneumatico al crescere del carico) consente di ottenere un sistema elastico (molla) con costante di forza variabile, durante
la discesa del pistone si manifestano delle oscillazioni armoniche che vanno smorzandosi soltanto quando viene raggiunta la posizione di equilibrio corrispondente al volume finale.
La soluzione esatta del problema dovrebbe essere impostata considerando altri dati, cioè sia le velocità iniziale e finale del pistone (rilevabili sperimentalmente) e la conseguente variazione di energia cinetica del pistone, sia l'approssimativa adiabaticità della trasformazione (mediante un esponente K' di V da valutare sperimentalmente, in sostituzione di K= 1,4, per tener conto del calore Q ceduto all'ambiente, da misurare con un calorimetro contenente il sistema):
Mg yi + (1/2) Mvi^2 = (pi Vi - pfVf)/(1-K') + Mg yf + (1/2) Mvf^2 + Q;
L = Mg(yi - yf) = Pd = (pi Vi - pfVf)/(1-K') + (1/2)M [vf^2 - vi^2] + Q.
Se , in particolare, vi = 0, si ha: Pd = (pi Vi - pfVf)/(1-K') + (1/2)M vf^2 + Q.
Per quanto riguarda il lavoro di compressione (positivo) fatto sul gas ed opposto a quello, negativo,fatto dal gas che subisce la compressione, si ha:
L = (pi Vi - pfVf)/(1-K) = [pi Vi - pi ((Vi/Vf)^K) Vf]/(1-K) = [pi Vi - pi (Vi^K) Vf^(1-K)]/(1-K) =
[pi Vi - pi (Vi^K) Vf^(-(K-1))]/(1-K) = [pi Vi - pi (Vi^K) /(Vf^(K-1))]/(1-K)=
= piVi [1 - (Vi/Vf)^(K-1)]/(1-K) = piVi[(Vi/Vf)^(K-1) -1]/(K-1).
L'espressione ottenuta mostra chiaramente che al decrescere del volume, il termine (Vi/Vf)^(K-1) aumenta, incrementando tanto più il lavoro L quanto minore è il volume finale.
Tanti cordiali saluti.
Gent. ma Francesca,
L'errore di interpretazione sta nel fatto che le variabili che determinano il lavoro che viene compiuto in una trasformazione adiabatica, sono le pressioni e i volumi iniziali e finali della massa gassosa e non soltanto il prodotto della pressione iniziale per il volume iniziale. Se invece la trasformazione
è isobarica (a pressione costante), il lavoro è determinato dal prodotto della pressione per la variazione di volume. In altri termini, mentre il prodotto pV non ha significato fisico, sono energeticamente importanti soltanto le sue variazioni durante una trasformazione.
Esempio numerico:
Consideriamo la compressione isobarica di una mole di gas (aria) contenuta in un cilindro non isolato termicamente dall'ambiente e chiuso da un pistone di sezione S = 0,008 mq = 80 cmq , scorrevole senza attrito per effetto di una forza costante F = 2400 N, il cui punto di applicazione si sposti di s = 0,125 m. Il lavoro compiuto dalla forza F sul gas è Lm = Fs = (2400 x 0,125) J = 300 J, mentre il lavoro di compressione compiuto dal gas è Lc = - Lm = - 300 J.
La pressione costante esercitata da F sul gas è p = F/S = 2400/0,008 = 3x105 N/mq.
Applicando l'equazione di stato si ha: Lc = p DV = nRDT; DV = Vf - Vi = Lc/p =
-300/3x105 = - 0,001 mq = -1 dmc = - 1 litro (l.).
La variazione di temperatura è DT = Lc(nR) = -300/(1 x 8,31) = -36,1 °K.
Se Ti = 303 °K (30 °C), si ha:
Vi = nRTi/p = 1 x 8,31 x 303 / 3x105 = 0,008393 mc = 8,393 l.
Tf = Ti + DT = 303 - 36,1 = 266,9 °K (- 6,1 °C);
Vf = nRTf/p = 1 x 8,31 x 266,9 / 3x105 = 0,008393 mc = 0,007393 mc = 7,393 l. .
Applicando il primo principio della termodinamica, si ha:
DQ (calore, negativo,trasferito dal gas all'ambiente = Cp(Tf - Ti )= DU (variazione, negativa, dell' energia interna: D U = Cv(Tf - Ti )del gas) + Lc (lavoro di compressione, negativo, compiuto dal gas).
Cp (calore molare dell'aria, a pressione costante) = Cv(calore molare dell'aria, a volume costante) + R = (4,96 x 4,18 + 8,31) J/(mole °K) = 29,042 J/(mole °K).
DQ = CpDT = 29,042 x (-36,1) = -1048,41 J.
D U = CvDT = 4,96 x 4,18 x (-36,1) = - 748,45 J.
In altri termini, il calore DQ = - 1048,41 J ceduto all'ambiente proviene per - 748,45 J dal decremento dell'energia interna del gas per effetto del raffreddamento a pressione costante da 303 °K a 266,9 °K e per - 300 J dal lavoro di compressione subito dal gas per effetto della forza costante F.
Compiuta la compressione isobarica alla pressione pi' = 3x105 N/mq, supponiamo di far compiere al gas un'espansione adiabatica dal volume iniziale Vi' = 0,007393 mc fino alla pressione finale pf' = 1,013 x 105 N/mq (1 atm).
Il volume finale sarà Vf' = (pi'/pf')g = ( 300000/101300)0,71428 x 0,007393 = 0,01605 mc.
Il lavoro (positivo) compiuto dal gas è L' = ( pf'Vf' - pi'Vi')/(1-
g) = (101300 x 0,01605 - 300000 x 0,007393)/(-0,4) = (1625,86 - 2217,9)/(-0,4) = 1480 J.
Dall'espressione L' = [pi'Vi'/(g -1)] {1 - [pf'/pi'][(g -1)/g]}, ricavabile con facili passaggi, si deduce che, a parità di prodotto iniziale pressione x volume, il lavoro di espansione è tanto maggiore quanto minore è la pressione finale pf'. Al limite, facendo tendere pf' a zero, si calcola il massimo lavoro (teorico) eseguibile:
L'max = [pi'Vi'/(g -1)] =
300000 x 0,007393 /0,4 = 5544,75 J.
Se invece il gas viene fatto espandere adiabaticamente fino al volume Vf' = 0,008393 mc, la pressione finale sarà pf' = pi' (Vi'/Vf') g = 300000 x (0,007393/0,008393)1,4 = 251180 ,62 N/mq.
L' = ( pf'Vf' - pi'Vi')/(1-g) = (251180,62 x 0,008393 - 300000 x 0,007393)/(-0,4) = (2108,15 - 2217,9)/(-0,4) = -109,75/(-0,4) = 274,375 J.
Come si può notare, il lavoro di espansione, a parità di volume e pressione iniziali, dipende dai valori finali della pressione e del volume, che determinano l'entità della variazione dell'energia interna.
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
Supponiamo, per semplicità, che il cilindro sia disposto orizzontalmente e che pertanto non intervenga la forza-peso, per evitare di riconsiderare un quesito precedente.
Cessata l'azione della forza costante, il gas, dopo essere stato compresso alla pressione costante pc = 1,1111 x 105 N/mq , con un volume finale di 1829 cmc, si espande adiabaticamente fino a quando la sua pressione non ridiventi uguale alla pressione esterna (pressione atmosferica) pa.
Il lavoro positivo di espansione compiuto dal gas sul pistone, (a spese della sua energia interna), Lp1 = (pf1Vf1 - pi1Vi1)/(1 - g ), da pi1 = 1,1111 x 105 N/mq, Vi1 = 0,001829 mc = 1829 cmc, a Vf1 (da calcolare), pf1 = pa = 1 atm = 1,013 x 105, sommato al lavoro negativo Ln1 = - pa(Vf1 - Vi1 ) compiuto dalla forza paS, uguaglia, per il teorema lavoro-energia, l'energia cinetica K = (1/2) Mv2 acquisita dal pistone:
Lp1 + Ln1 = K.
K = (pf1Vf1 - pi1Vi1)/(1 - g ) - pa(Vf1 - Vi1 ) .
Calcolato il volume finale Vf1 = Vi1(pi1/pf1)1/g = 1829 x (1,1111 x 105/1,013 x 105)0,7142 = 1953 cmc.
, si ottiene: K = (1,013 x 105x 0,001953 - 1,1111 x 105 x 0,001829)/(1 - 1,4) - 1,013 x 105(0,001953 - 0,001829) = (197,83 - 203,22)/(-0,4) - 12,561 = 0,909 J.
A questo punto bisogna considerare che, a partire dall'istante in cui la pressione p del gas uguaglia quella atmosferica (pa), il gas continua ad espandersi adiabaticamente effettuando il lavoro Lp2 a spese della sua energia interna, contro la forza costante pa, mentre l'energia cinetica K acquisita dal pistone si converte in lavoro resistente fatto contro la forza paS.
Si consideri che la forza risultante pS - pa S, agente sul pistone e diretta verso la base del cilindro (essendo pS minore di pa), aumenta a mano a mano che il volume aumenta e la pressione p diminuisce.
Pertanto, indicando con pi2 = pa la pressione iniziale, con Vi2 = Vf1 = 1953 cmc il volume iniziale, e con pf2 e Vf2 rispettivamente la pressione finale ed il volume finale (nel punto di arresto), applicando il teorema lavoro-energia, si ha:
pa(Vf2 - Vi2 ) (lavoro fatto contro la forza paS ) = K + Lp2 = K (energia cinetica acquisita dal pistone e che si converte in lavoro contro la forza paS) + (pf2Vf2 - pi2Vi2)/(1 - g ) (lavoro positivo di espansione compiuto dal gas contro la forza paS.
pa(Vf2 - Vi2 )(1- g) = K(1- g) + pf2Vf2 - pi2Vi2.
Per ottenere pf2 e Vf2 bisogna risolvere numericamente o graficamente
(con una calcolatrice con display grafico) il seguente sistema:
1) pf2 = [pa(Vf2 - Vi2 )(1- g) - K(1- g) + pi2Vi2]/Vf2;
2) pf2 = pi2 ( Vi2 /Vf2)g ;
1) pf2 = [1,013 x 105 Vf2(-0,4) + 1,013 x 105 x 1,953 x 10-3 (0,4) + 1,013 x 105 x 1,953 x 10-3 + 0,909(0,4)]/Vf2 ;
2) pf2 = 1,013 x 105 (1,953 x 10-3)1,4/Vf21,4 = 16,315/Vf21,4
1) pf2 = (-4,052 x 104 Vf2 + 277,338)/Vf2 =
= 277,338/Vf2 - 40520.
Rappresentate sul display le curve 1) e 2) , sono state lette le coordinate del loro punto d'intersezione, corrispondenti alla soluzione del sistema:Vf2 = 0,002404 mc = 2404 cmc e pf2 = 74832,97 N/mq.
Indicando con do = volume dopo la compressione isobarica/S = 1829/S = 1829/100 = 18,29 cm. la distanza iniziale del pistone dalla base del cilindro, con d1 = Vf1/S = 1953/100 = 19,53 cm. e con d2 = Vf2/S = 2404/100 = 24,04 cm. rispettivamente il volume finale della prima espansione adiabatica ed il volume finale della seconda espansione adiabatica, si ottiene lo spostamento del pistone fino all'arresto sommando allo spostamento d1 - do = 19,53 - 18,29 = 1,24 cm, relativo alla prima espansione, lo spostamento d2 - d1 = 24,04 - 19,53 = 4,51 cm. . Pertanto lo spostamento totale del pistone è dT = (1,24 +4,51) cm. = 5,75 cm.
Se la pressione esterna pa fosse idealmente nulla, il pistone acquisirebbe l'energia
cinetica
K = ( - pi1Vi1)/(1 - g ) = -1,1111 x 105 x 0,001829)/(1 - 1,4) = (- 203,22)/(-0,4) = 508,05 J , con una velocità finale pari a sqrt(2 x 508,5 /10) = 10,0846 m/s, che, in assenza di attriti ed in virtù del principio d'inerzia, si manterrebbe costante, con uno spostamento idealmente infinito.
Con pa diversa da zero, lo spostamento del pistone è tanto maggiore quanto minore è pa.
Il valore medio
.
Tanti cordiali saluti.
Gent.ma Francesca,
Considerando che il gas , con volume iniziale Vi1 = 0,0324 mc = 32400 cmc, viene compresso isobaricamente alla pressione pc = pa + F/S = 1,013 x 10 5 + 250/0,008 = 101300 + 31250 = 132550 N/mq, si calcola in base all'equazione di stato pV = nRT, il prodotto nDT tra il numero n di moli di gas ed il decremento DT della temperatura per effetto della cessione all'ambiente di calore DQ (negativo) a pressione costante e del concomitante decremento dell'energia interna DU, dove DVi1 = - Sd = - 0,008 x 0,3 = - 2,4 x 10-3 mc = -2400 cmc: n DT = pDVi1/R = -132550 x 0,0024/8,31 = - 38,2815 moli x °K.
Il volume finale del gas compresso a pressione costante è Vf1 =Vi1 + DVi1 = 32400 - 2400 = 0,03 mc = 30000 cmc.
Applicando l'equazione della trasformazione adiabatica, con pi2 = pc = 132550 N/mq, Vi2 = Vf1 =30000 cmc e Vf2 = Vi2 + Vi1 = 30000 + 32400 = 62400 cmc, si ha:
pf2 (pressione al termine dell'espansione adiabatica) = pi2(Vi2/Vf2)g = 132550 x(30000/62400)1,4 = 132550 x 0,35868 = 47543 N/mq.
Il relativo lavoro di espansione è (pf2 Vf2 - pi2 Vi2 )/(1 - g) = (47543 x 0,0624 - 132550 x 0,03)/(1 - 1,4) = (2966,683 - 3976,5)(-0,4) = 1009,817/0,4 = 2524,54 J.
Essendo Cv = 4,96 x 4,18 = 20,7328 J/(mole °K) e Cp = 20,7328 + R = 20,7328 + 8,31 = 29,0428 J/(mole °K), si calcolano il decremento dell'energia interna relativo alla compressione isobarica, DU = Cv (nDT) = - 20,7328 x 38,2815 J = -793,682 J ed il calore trasferito all'ambiente durante la compressione isobarica DQ = Cp(nDT) = - 29,0428 x 38,2815 = -1111,8 J.
In base al primo principio della termodinamica il lavoro effettuato dalla forza F e dalla forza paS esercitata dalla pressione atmosferica è L = DQ - DU = 1111,8 J - 793,682 J = 318,11 J , mentre il lavoro compiuto dalla sola forza F è L(F) = F d = 250 x 0,3 = 75 J, molto minore del lavoro reso dal sistema durante l'espansione adiabatica (2524,54 J). Come al solito, questa notevole differenza dipende dal fatto
che il lavoro di espansione durante la trasformazione adiabatica viene effettuato a spese dell'energia interna del gas, che equivale, dal punto di vista microscopico, alla somma delle energie cinetiche molecolari.
La maggior parte del lavoro di compressione (243,11 J = 318,11 J - 75 J) è effettuata dalla pressione atmosferica pa.
Altra soluzione
Applicando l'equazione di stato e supponendo che sia, per es., n = 1,15 il numero di moli di gas, si determina la temperatura iniziale dell'aria all'inizio della compressione isobarica):
Ti1 = pi Vi1/(nR) = 132550 x 0,0324/(1,15 x 8,31) = 449,39 °K (176,39 °C).
Si calcola l'abbassamento della temperatura dell'aria per effetto del calore ceduto all'ambiente e della concomitante diminuzione di energia interna, al termine della compressione isobarica alla
pressione pi = 132550 N/mq :DT = pDV/(nR) = -132550 x 0,0024/(1,15 x 8,31) = -33,288 °K.
Pertanto la temperatura al termine della compressione isobarica è Tf1 = Ti1 + DT = 449,39 - 33,288 = 416,1 °K (143,1 °C).
Di conseguenza, la temperatura all'inizio dell'espansione adiabatica è Ti2 = Tf1 = 416,1 °K.
Applicando l'equazione della trasformazione adiabatica, si ha:
Tf2 = Ti2(Vi2/Vf2)g - 1 = 416,1 x ((30000/62400)1,4 -1 = 416,1 x 0,48076 0,4 = 416,1 x 0,746 = 310,4 °K (37,4 °C).
Il lavoro compiuto dal gas durante l' espansione è pari al decremento, cambiato di segno, della sua energia interna:
L = - DU = - n Cv (Tf2 - Ti2) = - 1,15 x 20,7328 x (310,4 - 416,1) = 23,842 x 105,7 = 2520 J , valore che differisce dello 0,179 % da quello ottenuto considerando pressioni e volumi.
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
Se si considera la compressione adiabatica di un gas, ottenuta impiegando un pistone costituito
da un materiale termoisolante, scorrevole senza attriti in un cilindro fatto anch'esso di materiale
termoisolante, essendo idealmente nulla la quantità di calore ceduta all'ambiente, per il primo principio della termodinamica il lavoro L compiuto da una forza F , crescente al decrescere del volume del gas (altrimenti la compressione sarebbe isobarica e bisognerebbe fare cedere calore al gas per realizzarla, dopo avere eliminato il termoisolamento) ed agente sul pistone lungo la corsa s, si converte integralmente in incremento DU dell'energia interna del gas, che a sua volta, cessata l'azione della forza, si riconverte integralmente in lavoro di espansione.
In particolare, essendo negativo il lavoro L = - integrale [F(s) ds], compiuto dal gas sul pistone (lavoro uguale e contrario a quello effettuato dal pistone sul gas) si ha: L = - DU = - (Ufinale - Uiniziale) = - Cv (Tfinale - Tiniziale). Si deduce che al termine della compressione adiabatica l'energia interna U aumenta di - L e la temperatura assoluta T aumenta in modo direttamente proporzionale all'aumento di U. Pertanto, cessata l'azione di F e lasciando espandere successivamente il gas, sempre in condizioni di termoisolamento e purchè l'espansione avvenga tra gli stessi
valori delle variabili termodinamiche p,V e T, si riottiene al 100% il lavoro meccanico effettuato per comprimerlo.
Ovviamente il lavoro effettuato, sia esso positivo o negativo, può essere calcolato sia con la formula
L =(pfVf - piVi)/(1 - g), sia attraverso la
variazione di energia interna cambiata di segno:
L = -DU = - (Uf - Ui) = - Cv(Tf - Ti).
Esempio : Se il lavoro compiuto per comprimere aria , con temperatura iniziale Ti = 300 °K (27 °C) e calore specifico molare a volume costante Cv = 20,732 J/(mole °K), è Lp = 500 J , il lavoro di compressione Ln subito dal gas è pari a - 500 J, mentre è di 500 J l'incremento DU dell' energia interna , con una temperatura finale Tf = Ti + DU/Cv = 300 + 500/20,732 = (300 + 24,117) °K =
324,117 °K ( 51,117 °C). Pertanto, con un isolamento termico perfetto (ideale),il lavoro positivo
compiuto dal gas nella successiva espansione adiabatica, essendo ottenuto a spese della diminuzione dell'energia interna (-500 J) , è Lp' = - (DU) J = - (-500 J)
= 500 J, con un decremento di temperatura di 24 °K.
In queste condizioni ideali il sistema cilindro-pistone-gas si comporta analogamente ad un sistema elastico (massa-molla) , le cui variazioni di energia potenziale elastica (1/2) kx2 uguagliano il lavoro compiuto o subito per effetto di uno spostamento Dx rispetto alla posizione di equilibrio xo.
Tanti cordiali saluti
Gent.mo Francesco,
a) Un condensatore caricato con un generatore di tensione continua (per es. una batteria con f.e.m. E e resistenza interna Ri), essendo nulla la tensione tra le armature all'istante t = 0 (di chiusura dell'interruttore del circuito di carica), si comporta a tutti gli effetti come un cortocircuito; di conseguenza all'istante t = 0
l' intensità di corrente I nel circuito di carica, cioè nei conduttori che collegano il condensatore ai poli del generatore, è limitata soltanto dalla resistenza interna Ri della batteria, e vale I (t = 0) = E/Ri (legge di Ohm). Considerando che la tensione V (t) = Q(t)/C tra le armature del condensatore va gradatamente aumentando a mano a mano che su di esse si accumulano le cariche elettriche opposte +Q(t) e - Q(t), si comprende come l'intensità di corrente di carica I(t) (decrescente in funzione del tempo con legge esponenziale) sia la causa dell'accumularsi delle cariche sulle armature e quindi anche dell' aumento della tensione tra le stesse. Essendo la corrente di carica la causa dell'aumento della tensione, si deduce che gli
andamenti variabili della tensione tra le armature, prodotti da una tensione di alimentazione non più continua ma alternata, debbano seguire come effetti gli andamenti variabili della corrente di carica e di scarica: un
andamento crescente della corrente di carica è seguito con un certo ritardo (da 0 a 1/4 di periodo a seconda dei valori della resistenza e della capacità inserite nel circuito) da un andamento crescente della tensione, mentre un successivo andamento decrescente della corrente è seguito, con un ritardo uguale a quello dell'andamento crescente, da un andamento decrescente della tensione. In regime sinusoidale permanente (in corrente alternata), si dimostra che la sinusoide della corrente è in anticipo (da 0 a 1/4 di periodo) rispetto alla sinusoide della tensione tra le armature.
Nell'induttore (L) invece, essendo la f.e.m. autoindotta la causa dell'andamento, crescente o decrescente, della corrente, è la sinusoide della corrente ad essere sfasata in ritardo (da 0 a 1/4 di periodo in funzione dei valori di R ed L) rispetto alla sinusoide della tensione. L'inserimento di induttori e condensatori in un circuito in corrente alternata fa sì che l'anticipo della corrente rispetto alla tensione prodotto dai condensatori , sia compensato parzialmente o totalmente (nella particolare condizione di risonanza) dal ritardo della corrente rispetto alla tensione prodotto dagli induttori. Si dice anche che, mentre l'induttore tende ad opporsi alle variazioni dell'intensità di corrente, il condensatore tende ad opporsi alle variazioni di tensione: quanto maggiori sono rispettivamente i valori di L e C, tanto minori sono rispettivamente le variazioni dell'intensità di corrente DI = DV/(6,28 f L) per una data variazione di tensione e le variazioni della tensione tra le armature, per una data variazione di intensità di corrente DV = DI/(6,28 f C), per una data frequenza f della corrente alternata.
b) Considerando per semplicità i soli casi di circuiti induttivi-resistivi e capacitivi-induttivi in fase transitoria, si nota come nel circuito induttivo-resistivo, l'annullamento iniziale dell'intensità di corrente sia dovuto al fatto che la f.e.m. autoindotta all'istante t = 0 equilibra esattamente la f.e.m. del generatore di tensione continua e come invece, nel circuito capacitivo-induttivo, se il condensatore è inizialmente scarico, sia nulla la tensione tra le armature per l'assenza iniziale di cariche sulle stesse, mentre l'intensità di corrente iniziale è massima per il fatto che il condensatore si comporta come un cortocircuito.
Se invece si considera un circuito costituito da un generatore di tensione continua con f.e.m. E, da un condensatore C, da un induttore L e da un piccolo resistore R minore di sqrt(4L/C) (resistenza critica), chiuso il circuito, il condensatore raggiunge la tensione finale di carica (E) dopo una serie di oscillazioni sinusoidali smorzate che, partendo da valori iniziali nulli , V(0) e I(0), interessano sia la tensione V(t) ai capi del condensatore, sia l'intensità di corrente I(t).
Infatti, essendo molto contenuta la dissipazione di potenza nella piccola resistenza R (per effetto Joule), si verificano periodiche conversioni dell' energia elettrostatica (1/2)CV2 immagazzinata nel condensatore in energia magnetica (1/2)LI2 immagazzinata nell'induttore, e viceversa,in modo analogo
a quanto si verifica in meccanica durante le oscillazioni di un ammortizzatore a molla, nel quale l'energia elastica
della molla si converte in energia cinetica, e viceversa.
Le oscillazioni smorzate (con ampiezza decrescente con legge esponenziale) che si osservano nel predetto circuito RLC, con R minore della resistenza critica,si osservano anche durante la scarica del condensatore (scarica oscillante), quando cioè,caricato il condensatore ed eliminato il generatore di tensione continua, la chiusura
del circuito determina il passaggio di una corrente sinusoidale oscillante di scarica, inizialmente nulla, ed il decremento, anch'esso oscillante, della tensione ai capi del condensatore, con tensione iniziale V(0) = E, fino alla
scarica completa del condensatore. Le correnti e le tensioni oscillanti ad alta frequenza generate da un circuito
oscillante RLC servirono ad Heinrich Hertz per sperimentare la propagazione delle onde elettromagnetiche a breve distanza (all'interno del laboratorio), ed a Guglielmo Marconi per la realizzazione del primo sistema radiotelegrafico basato sulla propagazione delle onde elettromagnetiche a grande distanza.
Attualmente tutte le correnti e tensioni oscillanti necessarie nei sistemi di telecomunicazioni (radio, televisivi, satellitari e cellulari) si generano con dispositivi microelettronici a semiconduttori (transistor e circuiti integrati) inseriti in minicircuiti oscillanti RLC, costituiti dall'induttanza L di alcune piccole spire di filo di rame (radio FM), o da quella di una piccolissima pista di rame di una scheda miniaturizzata a circuito stampato (televisori e telefoni cellulari),e da un diodo a semiconduttore a capacità variabile (varicap),che costituisce il condensatore di accordo (di sintonia) alla frequenza di lavoro ed il cui funzionamento è gestito automaticamente dal microprocessore del sistema di selezione dei canali.
Le tecnologie si evolvono, ma i principi di funzionamento sono sempre gli stessi: il vecchio si riveste di nuovo e rivive nel nuovo, anche se spesso, soprattutto le giovani generazioni, non si rendono conto di questo, non riconoscendo nelle varie tecnologie avanzate gli immutabili principi delle scienze fisiche e confondendo, spesso,le prime con le seconde, per carenza di formazione scientifica, soprattutto da ascrivere alla vetustà ed all'obsolescenza dell'insegnamento delle scienze,in particolare della fisica, nella scuola italiana, eccezioni a parte. Si consideri, per esempio, che nei licei classici e scientifici, sulla base della vecchia composizione delle cattedre, risalente al 1924, si mantengono tuttora accorpate le
cattedre di matematica e fisica, senza voler comprendere che la fisica deve essere insegnata da laureati in fisica,sia per per la forma mentis tipica dei fisici, sia per le specifiche ed innovative metodologie teorico-sperimentali che attualmente sono indispensabili per motivare ed entusiasmare i giovani allo studio della fisica.
E' indispensabile ed urgente la separazione dei due insegnamenti.
Si pensi infatti che generalmente, tranne lodevoli eccezioni, i programmi di fisica nelle scuole medie superiori vengono svolti molto limitatamente, non considerando, per esempio la fisica quantistica che è fondamentale per la
comprensione dei principi di funzionamento di tutti gli attuali dispositivi e sistemi tecnologici avanzati (memorie elettroniche,laser, computer, telefoni cellulari e satellitari), e soprattutto dei dispositivi e sistemi nanotecnologici, (natotubi, cristalli fotonici, materiali nanostrutturati) oggetto di ricerche avanzatissime nei laboratori mondiali all'avanguardia nella progettazione del futuro dei prossimi 50 anni. E poi ci si lamenta del fatto che in Italia c'è la crisi delle iscrizioni alle facoltà scientifiche dure. Bella scoperta!!!
Finchè i politici continueranno a fare i miopi e non vorranno capire che investire in cultura significa investire
in tempi lunghi in ricerca e sviluppo per realizzare brevetti e quindi ricchezza, la situazione non cambierà
e saremo destinati ad un declino irreversibile.
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
Le consiglio di rileggere la risposta data in precedenza ad un quesito analogo, relativo ad un gas
compresso a pressione costante. Se si richiede che il volume del gas diminuisca mantenendo costante la pressione, poichè viene effettuato sul gas il lavoro L (ed il gas esegue un lavoro - L) e si richiede che la trasformazione sia isobarica, per il primo principio della termodinamica il lavoro - L, sommato alla variazione (diminuzione) di energia interna DU (prodotta dal raffreddamento del gas a pressione costante), deve essere uguale alla quantità di calore -DQ ceduta dal gas, a pressione costante, all'ambiente:
- L + DU = - DQ;
Il lavoro negativo compiuto dal gas (L = pDV) per effetto dell'abbassamento di 0,05 m del pistone è :
L = -((18 +(101300x0,001)x 0,05 ))= - 5,965 J ed è pari (per 1 mole di gas, n = 1) a nR DT; pertanto la temperatura del gas si abbassa da (15 + 273) °K = 288 °K a
(288 + DT)°K = (288 - 5,965/(nR))°K = (288 - 5,965/8,31)°K = (288 - 0,7178) °K = 287,282 °K (14,282 °C), con una diminuzione di energia interna DU = Cv(DT) = 20,7320 x (- 0,7178) = -14,881 J ed una quantità di calore
ceduta - DQ = Cp(DT) = 29,0420 x (-0,7178) = - 20,846 J.
- L + DU = - DQ;
- 5,965 - 14,881 = - 20,846 J.
Pertanto il lavoro compiuto sul gas , L = 5,965 J, si converte in calore, e sommato al valore assoluto
(14,881 J) della variazione di energia interna , fornisce la quantità di calore di 20,846 J ceduta all'ambiente durante il raffreddamento isobarico.
Se la trasformazione successiva è un'espansione adiabatica da pi = 119300 N/mq, Vi = 0,00005 mc a Vf = 0,0001 mc, con pf = pi (Vi/ Vf) g =
119300 x ( 0,00005/0,0001)1,4 = 45206 N/mq, si ottiene il lavoro
L = ( pf Vf - pi Vi)/(1 - g) = (45206 x 0,0001 - 119300 x 0,00005)/(-0,4) = (4,5206 - 5,965)(-0,4) = 3,611 J . Questo lavoro si ottiene dalla diminuzione di energia interna e dipende soltanto, fissati i valori iniziali di pressione e volume, dai valori finali delle medesime grandezze.
Non ha senso considerare il valore medio della pressione nel calcolo del lavoro, dal momento che si può ottenere esattamente il lavoro di espansione con la predetta formula.
Tanti cordiali saluti.
Gent.ma Francesca,
Se, prescindendo, per semplicità, dalle forze di attrito,si applica ad un sistema massa-molla,sollecitato da una forza F, il teorema lavoro-energia, si esprime l'uguaglianza tra il lavoro compiuto
dalla forza risultante F - kx (forza esterna - forza elastica), in relazione all'elongazione x della molla (spostamento rispetto alla posizione di equilibrio), e la variazione DKc dell' energia cinetica Kc associata alla massa M del sistema (massa della molla + massa applicata alla molla):
integrale (esteso da 0 a x) di (F - kx) dx = integrale (esteso da 0 a v) di Mvdv = (1/2)Mv2.
Bisogna a questo punto considerare due casi:
1) forza applicata F = kx con intensità direttamente proporzionale all'elongazione x determinata dalla forza F.
In questo caso DKc = 0; infatti, poichè la forza applicata equilibra istante per istante la forza elastica, la forza risultante è nulla ed è nulla (in pratica trascurabile) la variazione di energia cinetica del sistema. In questo caso il lavoro positivo compiuto
dalla forza applicata è uguale e contrario a quello compiuto dalla forza elastica ed è pari all'incremento (1/2)kx2 dell' energia potenziale elastica.
2) Se la forza applicata è costante e se,in particolare, come nell'esempio proposto, ha un'intensità
costante F = kxo, il teorema lavoro-energia fornisce la seguente equazione:
integrale (esteso da 0 a xo) di (kxo - kx) dx = kxo2 - kxo2/2 = kxo2/2 = DKc. Pertanto il lavoro compiuto dalla forza F serve per il 50% ad incrementare l'energia potenziale elastica Ep = (1/2) k xo2 e per l'altro 50% ad incrementare l'energia cinetica Kc.
3) Forza costante F = kxo/2.
In questo caso si ha:
integrale (esteso da 0 a xo) di (kxo/2 - kx) dx = kxo2/2 - kxo2/2 = 0.
In questo caso non si ha variazione di energia cinetica e tutto il lavoro compiuto da F va ad incrementare l'energia potenziale elastica.
Esempio numerico relativo al secondo caso
xo = 0,2 m;
k = 500 N/m;
F = kxo= 500 x 0,2 = 100 N.
integrale (esteso da 0 a 0,2 m.) di (kxo - kx) dx = 500 x 0,22 - (500/2) x 0,2 2 = 20 J - 10 J = 10 J. L'incremento di energia cinetica è di 10 J ed è pari a quello dell'energia potenziale.
Esempio numerico relativo al terzo caso
xo = 0,2 m;
k = 500 N/m;
F = kxo/2= 500 x 0,2/2 = 50 N.
integrale (esteso da 0 a 0,2 m.) di (kxo/2 - kx) dx = 500 x 0,22/2 - (500/2) x 0,2 2 = 10 J - 10 J = 0. L'incremento di energia cinetica è nullo, mentre l'energia potenziale elastica aumenta di 10 J, cioè di una quantità pari al lavoro compiuto dalla forza F.
In questo caso, nell'intervallo da x = 0 a x = 0,1 m la forza elastica aumenta da 0 a 500 x 0,1 N = 50 N, fino ad equilibrare la forza costante di 50 N, con un incremento di energia cinetica di 2,5 J ed un incremento di energia potenziale di (500/2) x 0,12 J = 2,5 J (da 0 a 2,5 J).
Nell' intervallo da x = 0,1 m a x = 0,2 m. la forza elastica aumenta da 50 N a 500 x 0,2 N = 100 N.
Pertanto, essendo la forza elastica più intensa della forza costante applicata, l'energia cinetica diminuisce da 2,5 J a 0, compensando l'aumento relativo all'intervallo precedente, mentre l'energia
potenziale aumenta da 2,5 J a (500/2) x 0,22 = 10 J, con un incremento di 7,5 J.
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Francesco,
Utilizzando un'analogia idraulica, consideriamo una pompa che prelevi acqua da un serbatoio immettendola alla pressione P1 e con portata (volumetrica) Q (in mc/s) in un tubo con sezione circolare e lunghezza L , che offra una resistenza idrodinamica R = (P1 - P2)/Q , definita dal rapporto (costante entro un certo limite di velocità del fluido, cioè finchè il moto non diventi vorticoso) tra la differenza di pressione P1 - P2 agli estremi del tubo e la portata Q.
Consideriamo inoltre un circuito elettrico formato da un generatore di tensione continua (o alternata) con resistenza interna Ri trascurabile e f.e.m. E (tensione tra i poli a circuito aperto) , collegato ad un resistore R costituito da una spirale di filo resistente (lega di nichel-cromo impiegata per realizzare gli
elementi radianti delle stufette elettriche). Se indichiamo con I = E/R l'intensità di corrente nel circuito, possiamo dire che la differenza di pressione P1 - P2 sta alla differenza di potenziale elettrico E (tensione) agli estremi della spirale resistiva (e quindi anche tra i poli del generatore) come la portata Q sta all'intensità di corrente I . Come all'interno del tubo di lunghezza L l' acqua fluisce incontrando un ostacolo (resistenza idrodinamica) che è tanto maggiore quanto maggiori sono la lunghezza L e la viscosità del liquido e quanto minore è il quadrato della sezione del tubo, così gli elettroni, spostandosi attraverso il reticolo cristallino del metallo del resistore, incontrano, per effetto dei continui urti con gli ioni del metallo, un ostacolo (resistenza elettrica) che (per la seconda legge di Ohm) è tanto maggiore quanto maggiori sono la lunghezza e la resistenza specifica (resistività) del metallo e quanto minore è la sezione del conduttore.
Come in un circuito idraulico, a parità di differenza di pressione applicata agli estremi, la portata è inversamente proporzionale alla resistenza idrodinamica del tubo, così in un circuito elettrico l'intensità di corrente, a parità di tensione agli estremi del circuito, è inversamente proporzionale alla resistenza elettrica.
Per quanto concerne la caduta di tensione (non si parla mai di caduta d'intensità ) in un circuito elettrico , analoga alla caduta di pressione in un circuito idraulico, si pensi di collegare il morsetto negativo di un voltmetro al polo negativo di una batteria collegata alla predetta spirale di nichel-cromo e di spostare con continuità dal polo positivo verso il polo negativo un contatto strisciante collegato al morsetto positivo del voltmetro: il voltmetro fornisce un valore di tensione che diminuisce con continuità da V a 0, essendo V
la tensione misurata ai poli della batteria. Si osserva che la tensione “cade” con continuità da V a 0.
Analogamente, nel circuito idraulico diversi manometri inseriti lungo il tubo,ad intervalli uguali, consentono di rilevare una pressione che decresce con continuità lungo il tubo da un valore massimo in prossimità dell'uscita (mandata) della pompa ad un valore minimo all'altro estremo del tubo.
Il momentaneo calo di tensione (quindi di luminosità delle lampade) che si osserva quando si inserisce un carico di notevole potenza, si spiega con la caduta di tensione (prodotto dell'intensità di corrente per la resistenza a monte del punto considerato, quindi proporzionale all'intensità di corrente richiesta
dal carico) che si verifica sia a causa della resistenza interna del generatore (in pratica molto piccola nel caso della rete di distribuzione) sia soprattutto a causa della caduta di tensione relativa alla resistenza ohmica dei conduttori della linea di alimentazione del carico, caduta che è tanto minore quanto maggiore è la sezione dei cavi e quindi quanto minore è la loro resistenza.
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Francesco,
a) Si consideri che, dato un resistore con resistenza R, la legge di Ohm, scritta come R = V/I, esprime la
legge di proporzionalità diretta tra la tensione V ai capi di R e l'intensità di corrente I che fluisce in essa, il che significa che valgono non soltanto entrambi i rapporti 200/2=100 ohm e 40/0,40=100 ohm, ma tutte le
infinite coppie di valori di V e I tali che il rapporto V/I sia sempre pari a 100 ohm.
In altri termini, si può pensare di applicare ai capi di R = 100 ohm qualsiasi valore V di tensione (variabile indipendente) (compatibilmente con la massima potenza in W (watt) dissipabile da R in calore (dissipazione o wattaggio)) , di misurare con un amperometro, collegato in serie con R, l'intensità di corrente I (variabile dipendente), e di calcolare il rapporto V/I, che, entro i limiti degli errori di misura, coincide sempre con il valore di R.
In alternativa, collegando in serie con R un reostato (resistore variabile), si può imporre il passaggio in R
di una data intensità di corrente I (variabile indipendente) (sempre compatibilmente con la dissipazione in W di R) , misurando con un voltmetro, collegato in parallelo (o in derivazione) con R, la tensione V (variabile dipendente) = RI (cioè la caduta di tensione V = RI) ai capi di R. Per tutti i valori dell'intensità di corrente imposta I, il rapporto V/I coincide, entro i limiti degli errori di misura, con il valore di R. Quindi la legge di Ohm può essere verificata sperimentalmente,sia fissando, a piacere, la tensione V ai capi R e misurando I, sia fissando , a piacere, l'intensità di corrente I e misurando la tensione V ai capi di R.
Nell' esempio in figura, supponendo che il reostato RDF = 1000 W
sia stato regolato, a piacere, in modo che sia RDE = 600 W il valore resistivo compreso tra i punti D e E e che la batteria abbia resistenza interna trascurabile ed una f.e.m. (forza elettromotrice) E = 200 V, se l'intensità di corrente misurata dall'amperometro (con resistenza interna Ra trascurabile) è I = 0,3125 A e la tensione tra i punti B e C è VBC = 6,5 V, la resistenza RBC offerta dal reostato RAC = 40 W tra i punti B e C è RBC = VBC /I = 6,5/0,3125 = 20,8 W.
In alternativa, regolando a piacere RDE = 250 W,l'intensità di corrente nel circuito è I' = E/(RAC + RDE) = 200/(40 + 250) A = 200/290 A = 0,689655 A. Di conseguenza, poichè si misura tra i punti B e C una tensione VBC = RBC I' = 20,8 x 0,689655 V = 14,34482 V, applicando la legge di Ohm (RBC = VBC /I '= 14,34482/0,689655 W = 20,799 W) , si riottiene il valore RBC = 20,8 W.
Variando l'intensità di corrente I' con il reostato RDF, si otterranno valori diversi di VBC, ma il rapporto RBC tra VBC e I' coinciderà, entro i limiti degli errori sperimentali, con il valore di 20,8 W.
b) Spostando il cursore B del reostato RAC da B verso A, si può verificare che la tensione
VBC aumenta da 6,5 V a 40 x 0,689655 = 27,5862 V, in quanto la caduta di tensione VAB diminuisce gradualmente da 6,5 a 0 e la tensione VBC coincide con VAC quando i punti A e B coincidono.
Viceversa, spostando il cursore B del reostato RAC da B verso C, si può verificare che la tensione VBC diminuisce da 6,5 V a 0 , in quanto la caduta di tensione VAB aumenta gradualmente da 6,5 a 40 x 0,689655 = 27,5862 V e la tensione VBC si annulla quando i punti B e C coincidono.
L'aumento di resistenza (elettrica, o idrodinamica, per es. per effetto di una strozzatura del tubo) in un punto qualsiasi del circuito elettrico (o idraulico), causa una diminuzione dell'intensità di corrente (o della portata) in tutti i punti del circuito. Infatti,se nel circuito in figura si collega in serie un ulteriore resistore R', l'intensità diminuisce in tutti i punti del circuito: I'' = E/(RAC + RDE + R') .
Si suppone che la batteria e la pompa mantengano alle estremità del circuito rispettivamente una tensione
costante o una differenza di pressione costante, cioè che la loro resistenza interna (elettrica o idrodinamica)
sia trascurabile.
c) Consideriamo questo esempio pratico: L'intensità luminosa dei fari di un'auto diminuisce temporaneamente quando viene avviato il motore. Infatti, poichè l'intensità della corrente assorbita dal motorino di avviamento allo spunto può raggiungere per qualche secondo il valore di oltre un centinaio di ampere, finchè il motore non si avvia, supponendo di avere una resistenza interna della batteria Ri = 0,015
W ed un'intensità di corrente massima Imax = 180 A, la tensione ai poli della batteria
si abbassa dal valore nominale E = 12 V (f.e.m.) al valore V = E - Imax Ri = (12 - 180 x 0,015) V = (12 - 2,7) V = 9,3 V, con una caduta di tensione di 2,7 V all'interno della batteria. A motore avviato il motorino si disinserisce automaticamente e la tensione ai poli risale, dopo il sovraccarico, ad un valore tipico intorno a 14 V per effetto della corrente di carica erogata dall'alternatore.
Sovraccarichi temporanei analoghi si verificano in coincidenza con l'avviamento di motori elettrici sia in corrente continua che in corrente alternata (frigoriferi, autoclavi, ascensori, ecc...), in quanto nella fase di avviamento un motore con il rotore fermo o rotante a velocità inferiore a quella a regime, equivale quasi ad un cortocircuito di brevissima durata sulla linea di alimentazione.
Tanti cordiali saluti.
Gent.mo Francesco,
A)
La risonanza (meccanica, acustica, elettrica) è la massima ampiezza della risposta periodica (rispettivamente spostamento di una massa oscillante, ampiezza di un'onda sonora, tensione o intensità di corrente alternata) data da un sistema (rispettivamente meccanico, acustico, elettrico) per effetto di
un' eccitazione periodica (rispettivamente forza periodica, onda acustica, tensione o intensità di corrente alternata ) con frequenza pari alla frequenza caratteristica del sistema (frequenza di risonanza) e di ampiezza molto minore di quella della risposta che si ottiene.
In tutti e tre i casi, nella condizione di risonanza si verifica una completa conversione bidirezionale e periodica, rispettivamente: di energia potenziale gravitazionale (altalena) o elastica (sistema massa-molla, vedi sospensioni elastiche dei veicoli) in energia cinetica di una massa oscillante, di energia potenziale elastica del mezzo di propagazione (metallo, liquido o gas) in energia cinetica molecolare o di una corda (o membrana vibrante), e di energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico di un condensatore carico in energia del campo magnetico di un'induttanza. Questa periodica conversione si verifica se la frequenza dell'eccitazione periodica coincide con una delle frequenze di risonanza del sistema
(vedi frequenze armoniche di corde e canne d'organo o frequenze naturali di un ponte sollecitato dal vento) o con la frequenza di risonanza di un circuito elettrico LC (induttanza + condensatore, vedi circuito di sintonia di un radioricevitore o di un televisore) o con la frequenza di risonanza di un pendolo, di un'altalena
o di un sistema massa-molla.
Ricorrendo ad un'analogia molto nota tra sistemi risonanti meccanici ed elettrici, si può dire che la massa M di un sistema meccanico sta all' induttanza L di un circuito
risonante come la costante di forza elastica K di una molla sta all'inverso della capacità C: la frequenza
di risonanza è fo = 1/[6,28 sqrt (M/K)] nel caso meccanico e fo = 1/[6,28 sqrt (LC)] nel caso elettrico.
Se in un sistema meccanico non esistessero le forze d'attrito (sia radente che viscoso), l'ampiezza della risposta diventerebbe teoricamente infinita per f = fo e così anche,se in un sistema elettrico
fossero nulle le perdite resistive (per effetto Joule), l'intensità di corrente o rispettivamente la tensione (a seconda che si trattasse di un circuito LC-serie (L in serie con C e con il generatore di tensione alternata) o LC-parallelo (L in parallelo con C e con il generatore di corrente alternata) , sarebbero teoricamente infinite.
Fisicamente però l'ampiezza della risposta non può essere infinita, ma è tanto maggiore quanto maggiore
è il cosiddetto fattore di merito del sistema risonante, cioè quanto minori sono le perdite per attrito o resistive.
Se la frequenza di trasmissione di una stazione radio FM è per esempio fo = 100 MHz (100 milioni di oscillazioni al secondo), significa che il segnale ricevuto assume la massima ampiezza soltanto
quando la manopola che agisce sul condensatore variabile di sintonia viene fatta ruotare delicatamente fino
a fare in modo che la frequenza di risonanza del circuito LC del ricevitore coincida (o quasi) con la frequenza
di 100 MHz. In altri termini, dal punto di vista fisico, in un sistema risonante di qualsiasi tipo, nella condizione di risonanza la periodica e bidirezionale conversione energetica suesposta tende a diventare quasi completa, di modo che basta una sollecitazione periodica di ampiezza molto piccola, appena sufficiente a compensare le perdite energetiche per attrito o per effetto Joule, per ottenere una risposta molto più ampia dell'eccitazione applicata. Ecco perchè nel 1940 negli USA crollò il ponte di Tacoma, per effetto della risonanza indotta dalle raffiche di vento, le cui frequenze erano casualmente moto vicine alle frequenze naturali del ponte.
Ecco perchè un'altalena, purchè riceva spinte periodiche piccole, ma con frequenza prossima a quella di oscillazione del pendolo che serve a schematizzarla, può compiere, dopo una fase transitoria iniziale, oscillazioni di notevole ampiezza.
B)Mentre i sovraccarichi prodotti dall'avviamento dei motori sono temporanei, si verificano sempre cadute di tensione stabili lungo i conduttori della linea di alimentazione e direttamente proporzionali all'intensità di corrente assorbita. Ovviamente la caduta di tensione statica causata da una lampada da 100 W è 10 volte minore di quella relativa ad una stufa da 1000 W , essendo dieci volte maggiore l'intensità di corrente nel secondo caso.
Infine, a circuito aperto, cioè con tutti gli interruttori aperti, la caduta di tensione è nulla
essendo nulla l'intensità di corrente.
Curiosità
1) L' induttanza di un circuito elettrico si indica con la lettera L maiuscola per ricordare il fisico tedesco
Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865), che introdusse il segno meno nella legge di induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann;
2) Qualsiasi telefono fisso è collegato alla linea telefonica attraverso un trasformatore di linea (forchetta telefonica) che , oltre a garantire la separazione metallica del circuito locale di abbonato dalla linea telefonica, serve a trasformare il circuito a 4 fili del telefono (due per il microfono e due per l'auricolare) nel circuito bidirezionale a due fili che collega l'abbonato alla centrale, attraverso vari armadi di permutazione. Il doppino telefonico (twisted pair) , detto anche coppia, è costituito da due fili di rame isolati intrecciati e di colori diversi, e serve a collegare il telefono alla centrale, attraverso la forchetta, che è dotata di un avvolgimento collegato alla linea e di altri due avvolgimanti collegati rispettivamente al microfono ed all'auricolare. La forchetta viene progettata in modo tale che l'utente non senta nell'auricolare il ritorno della propria voce (circuito antilocale) (il segnale si propaga soltanto dal microfono verso il doppino) e che contemporaneamente il segnale telefonico generato dal microfono remoto si propaghi soltanto verso l'auricolare.
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
Le consiglio anzitutto, per una migliore comprensione della risposta, la lettura delle pagine di cui
ai seguenti link:
F.A.Q. - Le domande più frequenti sul mondo fisico
L'esplorazione del microcosmo nel XX secolo - pag. 4
Il modello standard
Leptoni
Quark
Gli adroni
I vettori dei campi quantistici
Mesoni
Barioni
Memorandum
La supermacchina acceleratrice LHC (Large Hadron Collider),collaudata presso il CERN di Ginevra alle ore 9,30 del 10 settembre 2008, è costituita essenzialmente da un doppio anello sotterraneo, della circonferenza di 27 km, situato ad una profondità di 100 m. Il doppio anello passa
attraverso 1624 elettromagneti superconduttori dipolari (N-S) , ciascuno della lunghezza di 15 m, con avvolgimenti in lega superconduttrice di Niobio-Titanio, raffreddati con circolazione di elio liquido a 1,9 °K (-271,1 °C) ed inseriti ad intervalli regolari per guidare i fasci di protoni lungo la traiettoria circolare. Per focalizzare i fasci di protoni vengono invece utilizzati altri 393 elettromagneti superconduttori quadripolari (N-S-N-S), ciascuno della lunghezza di 7 m,disposti
anch'essi lungo il doppio anello, ad intervalli regolari. I campi magnetici generati dagli elettromagneti superconduttori sono circa 140000 volte più intensi (9,8 T , tesla) del massimo valore del campo magnetico terrestre (7 x 10 -5T ai poli) .In ciascun anello viene costantemente mantenuto il vuoto spinto alla pressione di 10-6 torr (mm di mercurio),
al fine di minimizzare le collisioni con le molecole gassose e le relative perdite energetiche.
Considerando che in ciascun anello viene iniettato dal vecchio SPS (il SuperProtoSincrotrone che consentì a Carlo Rubbia nel 1983 di rivelare i bosoni vettoriali W e Z°, confermando sperimentalmente la teoria elettrodebole di Salam-Winberg-Glashow (1976 - 1970)), un fascio di protoni con energia di 450 GeV, che i fasci circolano in versi opposti, guidati e focalizzati dagli elettromagneti superconduttori di cui sopra, e che vengono ulteriormente accelerati, fino a raggiungere l'energia massima prestabilita, da campi elettromagnetici a radiofrequenza passando attraverso cavità risonanti inserite ad intervalli regolari lungo il doppio anello, si comprende come
sia possibile far collidere i fasci tra loro, creando lungo il doppio anello, mediante opportuni magneti di correzione della traiettoria, alcune zone di intersezione in cui vengono posizionati i vari rivelatori (ATLAS, CMS, LHCB e ALICE) dei prodotti di collisione, gestiti da sofisticatissimi sistemi di acquisizione dati in grado di acquisire ed elaborare in tempo reale l'enorme mole dei dati (carica elettrica, spin, quantità di moto, energia e numero delle particelle prodotte) associati agli eventi prodotti dagli urti frontali protone-protone.
Si tenga presente che il collaudo del 10 settembre è stato effettuato iniettando un solo fascio di protoni per verificare soltanto la regolarità del moto circolare degli stessi lungo l'anello. I collaudi proseguiranno nel mese di settembre 2008 con entrambi i fasci attivati, per verificare che i protoni
di ciascun fascio raggiungano l'energia di 5000 GeV (5 TeV). Successivamente l' LHC sarà collaudato fino all'energia massima prevista di 7 TeV per fascio. Produrre urti frontali tra protoni aventi la stessa energia e circolanti in sensi opposti offre il notevole vantaggio della conversione
completa dell'energia dei fasci in massa, in base alla relazione einsteiniana E = mc2.
Si pensi infatti di produrre un urto frontale tra due corpi con la stessa massa e la stessa energia cinetica, e quindi con velocità e quantità di moto uguali e contrarie. Per il principio di conservazione della quantità di moto, la somma vettoriale delle quantità di moto, nulla prima dell'urto (mv - mv = 0) , rimane nulla anche dopo l'urto, e durante l'urto tutta l'energia cinetica delle masse si converte in energia elastica di deformazione dei corpi, che in alcuni casi, per la notevole violenza dell'urto, possono ridursi ad un'unica massa (2m) con energia cinetica finale nulla.
Nel caso delle particelle, facendo collidere due fasci di protoni controrotanti da 7 TeV (energia massima per fascio), si rende disponibile nell'urto un'energia di 14 TeV, che è 7 volte più grande
dell'energia resa disponibile dal Tevatron del Fermilab di Chicago (2 TeV con fasci da 1 TeV), il più grande collisore mondiale prima dell'entrata in funzione dell' LHC.
Per tornare al big bang, caratterizzato da una temperatura iniziale di 1032K° e la cui durata deve essere stata comparabile con il cosiddetto tempo di Planck tP = 10-44 s, quando cioè l'universo era assimilabile ad una sfera infinitesima con diametro pari alla lunghezza di Planck lP= 10-35 m, si deduce che l' energia di agitazione termica iniziale dell'universo , per T = 1032K° e considerando che l'energia di 1 eV (elettronvolt) equivale a 10000 °K, deve essere stata pari a
1032K°/104K° = 1028 eV = 1019GeV = 1016TeV, cioè 1016TeV/14 TeV = 7,142 x 1014 volte maggiore dell'energia massima di LHC. Considerando inoltre che vengono rivelati, sia pure con probabilità molto piccola, raggi cosmici rari, con energie dell'ordine di 1020 eV = 108 TeV , cioè
108 TeV/14 TeV = 106 volte maggiore di 14 TeV, risulta evidentissima
l'infondatezza delle sciocche previsioni di catastrofi collegate agli esperimenti effettuabili con il
Large Hadron Collider di Ginevra. L'accidentale o voluta formazione di microbuchi neri, peraltro già prodotti qualche anno fa presso il Fermilab di Chicago da 2 TeV, non solo implicherebbe energie 714200 miliardi di volte inferiori a quella del big bang ed 1 milione di volte inferiori a quelle dei
raggi cosmici più energetici, ma verrebbe neutralizzata dal loro decadimento in particelle elementari
di vario tipo per effetto della radiazione di Hawking, che risulta tanto più intensa quanto minore
è il raggio di Schwarzschild (orizzonte degli eventi) caratteristico del buco nero (Rs = 2GM/c2) . Se M = 14 x 1012eV x 1,6 x 10 -19 J / c2 = 2,24 x 10-6/9 x 10 16 = 2,488 x 10-23g,
Rs = 2 x 6,67 x 10-11 x 2,488 x 10-23 /9 x 10 16 = 3,687 x 10-50 m , che risulta 10-50 /10-35 = 10-15, cioè 1015volte minore della lunghezza tipica della scala di Planck !!!
Ecco perchè le antiscientifiche previsioni di catastrofe diffuse nell'imminenza del collaudo di LHC non sono altro che bufale mediatiche !
Gli esperimenti eseguibili con LHC consentiranno anzitutto di esplorare bene la regione delle alte energie corrispondenti alla fase in cui l'universo, 10-11 s dopo il big bang, era caratterizzato da una temperatura intorno ai 1016 °K, corrispondente ad un'energia di agitazione termica di 1016/104 = 1012 eV = 1 TeV.
Questa fase corrisponde alla cosiddetta transizione elettrodebole, che partendo dalle tre forze (gravità , forza subnucleare forte e forza elettrodebole) esistenti dopo il completamento della fase dell'inflazione (rapidissima espansione iniziale dell'universo verificatasi 10-33 s dopo il big bang), diede origine, per rottura di simmetria, alle quattro forze fondamentali attuali: gravità, forza subnucleare forte, forza subnucleare debole, forza elettromagnetica. In particolare, dall'unica forza supersimmetrica esistente al momento del big bang, forza caratteristica della fase in cui tutte e quattro le forze fondamentali (gravitazionale, subnucleare forte, subnucleare debole, elettromagnetica) avevano la stessa intensità, durante il rapido raffreddamento conseguente all'inflazione si sarebbe verificata una prima rottura della simmetria iniziale, con la separazione della gravità da una superforza unificata corrispondente alla stessa intensità della forza subnucleare forte,agente tra i quark, e della forza elettrodebole, associata all'unificazione (con identità di intensità) delle forze elettromagnetica e subnucleare debole (forza responsabile del cambiamento di sapore dei quark). Una successiva rottura di simmetria si sarebbe verificata con la transizione della grande unificazione, 10-33 s dopo il big bang, durante la quale la superforza unificata
avrebbe dato origine all'attuale forza subnucleare forte agente tra i quark (forza di colore) ed alla
forza elettrodebole (di Salam, Weinberg, Glashow). Infine, 10-11 s dopo il big bang
un'ultima rottura di simmetria avrebbe dato origine alle attuali 4 forze: elettromagnetica , subnucleare debole (10-11 volte meno intensa di quella elettromagnetica) , subnucleare forte (100 volte più intensa di quella elettromagnetica) e gravitazionale (1038 volte più debole della forza subnucleare forte).
Le rotture di simmetria associate alle varie fasi sarebbero state prodotte dall'interazione dei tre campi
quantistici (subnucleare forte o gluonico, elettromagnetico ed elettrodebole) , gravità a parte, con un ulteriore campo ipotizzato da Peter Higgs nel 1964 per spiegare la rottura di simmetria che implicò
la transizione elettrodebole dai quattro bosoni vettoriali di campo (con spin unitario e massa nulla),fotone, bosone W+, bosone W- e bosone Z° ai bosoni di campo
attuali, corrispondenti al fotone ed ai tre predetti bosoni che, avendo acquisito massa,attraverso l'ipotizzata interazione con il campo scalare (con spin 0) di Higgs, non possono più muoversi alla velocità della luce, come invece si verifica per il fotone, che è privo di massa, ma si muovono sempre con velocità inferiori a quella della luce come ogni altra particella dotata di massa.
Ecco perchè si afferma che, se il bosone di Higgs non sarà rivelato attraverso LHC, bisognerà riscrivere la fisica degli ultimi 40 anni , a causa dell'incompatibilità con il modello standard che ha
consentito ai fisici di raggiungere tanti splendidi traguardi nella scoperta della struttura e delle leggi
che governano il microcosmo che sta alla base dell'universo.
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Francesco
1) Consideriamo un solenoide rettilineo di lunghezza L, costituito da N spire di sezione S, chiuse in cortocircuito ed un magnete rettilineo di lunghezza L e sezione circa uguale a S e tale che il magnete possa
cadere senza attrito all'interno del solenoide. Supponendo che il magnete, capace di generare un'induzione
magnetica B, venga lasciato cadere da una posizione ho tale che la faccia del suo polo magnetico inferiore si trovi all'inizio dell'avvolgimento del solenoide e che le spire siano state avvolte a strati regolari, in modo tale che si possa considerare costante il rapporto N/L (spire per unità di lunghezza), durante la caduta del magnete di un tratto infinitesimo dh, il flusso d'induzione magnetica (infinitesimo) dF(B) = (N/L) BS dh concatenato con le spire (N/L) dh comprese nel tratto dh, si può
esprimere come dF(B) = (N/L) BS v dt, essendo v = gt la velocità di caduta libera
del magnete, inizialmente (prima di assumere il valore costante finale) direttamente proporzionale al tempo.
Di conseguenza, applicando la legge d'induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann-Lenz Eind = - dF(B)/dt (derivata del flusso rispetto al tempo), si calcola la f.e.m. indotta
Eind = - dF(B)/dt = -(N/L) BS v dt/ dt = -(N/L) BS v .
Questa forza elettromotrice indotta fa circolare nelle spire del solenoide, con resistenza ohmica R, la corrente indotta Iind = (N/L) BS v/R, fornendo una potenza elettrica (frenante, per la legge di Lenz),
Pind = Eind x Ind = (N/L) BS v x (N/L) BS v/R = (NSBv/L)2/R.
2) Si tratta di un fenomeno analogo al precedente. Considerando che in questo caso interviene soltanto la componente verticale del campo magnetico terrestre e che la corrente indotta nella spira chiusa, durante la caduta, per la legge di Lenz (segno - ), come nel caso precedente, ha sempre verso tale da opporsi alla causa che la genera, si comprende come, essendo la forza frenante diretta verso l'alto, una spira di massa M debba muoversi , a regime, con velocità costante vlim = RMg[d/(BTS)]2, dove BT è la componente verticale del campo magnetico terrestre e d è il diametro del conduttore che costituisce la spira.
3) Se nella fase di allontanamento del circuito inducente (contenente il generatore) dal circuito indotto, viene
fatta aumentare opportunamente la f.e.m. del generatore , la diminuzione del flusso magnetico concatenato al circuito indotto, causata dall'allontanamento,viene compensata dall'aumento dell'intensità di corrente che
fluisce nel circuito inducente, e se l'aumento è sufficiente, si ottiene la compensazione della diminuzione di flusso, con la conseguenza che la corrente indotta non cambia verso, come normalmente si verifica.
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Francesco,
1) Nel caso del paracadute, considerando che la resistenza aerodinamica è direttamente proporzionale
alla sezione S del paracadute ed al quadrato della velocità, applicando la seconda legge della dinamica si ottiene: Ma = Mg - KS v2. Nella fase iniziale della discesa, prima che la velocità assuma il valore costante a regime vreg , (quando cioè il paracadutista, per la prima legge della dinamica (principio d'inerzia) , si muove di moto rettilineo uniforme), il paracadutista scende con velocità crescente,minore dì quella corrispondente alla caduta libera a causa della resistenza aerodinamica, fino
al momento in cui la resistenza aerodinamica compensa esattamente il peso: Mg = KS vreg2. Non appena, verificatasi questa condizione, vreg = SQRT[ Mg/(KS)], annullandosi la forza risultante, cioè la somma vettoriale (pari alla differenza dei moduli) del peso e della resistenza aerodinamica, il moto diventa rettilineo uniforme e si mantiene tale fino al momento dell'atterraggio. Infatti, poichè il moto avviene con velocità costante, anche la resistenza aerodinamica resta costante. Nel caso del magnete, invece, la forza frenante è direttamente proporzionale alla velocità e si ha l' equilibrio dinamico e quindi il moto rettilineo uniforme quando (NSB/L)2v/R = Mg.
2) La somma della forza peso e della forza frenante è da intendersi come somma vettoriale, la quale, essendo i vettori paralleli e con versi opposti, coincide con la somma algebrica, che si annulla in condizioni
di equilibrio.
3) Per la legge di Faraday-Neumann (prescindendo dal segno meno della legge di Lenz) l'intensità della corrente indotta è I(t) = (1/R) DF (B)/D. Pertanto, durante l'avvicinamento del circuito inducente al circuito indotto, avendosi un aumento di flusso magnetico,
DF (B) > 0, si ha una corrente indotta, che si può considerare, per convenzione, positiva. Quando il circuito inducente viene allontanato, senza aumentare l'intensità di corrente erogata dal generatore, avendosi una diminuzione del flusso magnetico, DF (B) < 0, la corrente indotta è di segno contrario (per convenzione negativa). Se invece, durante l'allontanamento, la corrente erogata dal generatore viene fatta aumentare in modo tale da sovracompensare la diminuzione del flusso, DF continua a mantenersi positivo come nella fase di avvicinamento, e la corrente indotta non cambia verso.
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Andrea,
Un sommergibile è dotato di parecchi compartimenti stagni, la maggior parte dei quali (serbatoi principali di zavorra, main ballast tanks) sono progettati in modo tale che il loro completo allagamento garantisca l'equilibrio tra il peso e la spinta idrostatica, per mantenere il sommergibile in condizioni di equilibrio indifferente ad una qualsiasi profondità. Vengono inoltre utilizzati alcuni serbatoi ausiliari (negative ballast tanks) che servono, con il loro totale allagamento, ad appesantire il sommergibile,in modo tale da garantirne la rapida immersione con le valvole tutte aperte.
Pertanto, dimenticare aperte le predette valvole ha come diretta conseguenza la rapida immersione
del sommergibile, che può essere rallentata o, se necessario, arrestata, pompando nei serbatoi ausiliari aria compressa a parecchie centinaia di atmosfere per ottenere la rapida espulsione dell'acqua immessa in precedenza e ripristinare l'equilibrio o la prevalenza della spinta idrostatica rispetto al peso.
weblink :http://maritime.org/fleetsub/
Tanti cordiali saluti
Gent.mo Roberto,
Posso fornire la seguente definizione dell'energia, valida anche ai fini didattici:
“L'energia (di qualsiasi natura: cinetica,potenziale,elettrica,magnetica,nucleare) di un corpo o di un sistema materiale è una grandezza fisica scalare la cui variazione, positiva o negativa, uguaglia rispettivamente il lavoro (positivo) Lp compiuto sul corpo o sul sistema materiale considerato da parte di un altro corpo o di un altro sistema materiale, o il lavoro (negativo) Ln subito dal corpo o dal sistema materiale considerato per l'azione di un altro corpo o di un altro sistema materiale":
Lp = Efinale - Einiziale; (Efinale > Einiziale);
Ln = Efinale - Einiziale; (Efinale < Einiziale).
Fisicamente hanno significato soltanto le variazioni di energia di un corpo o di un sistema materiale, che vengono misurate attraverso il lavoro compiuto o subito: L (> 0 o < 0) = Efinale - Einiziale.
Esempio
Quando consideriamo l'urto elastico tra due palle da bigliardo, misuriamo soltanto la variazione di
energia cinetica di ciascuna palla conseguente alle forze impulsive di deformazione elastica (di azione e reazione) che agiscono durante l'urto, attraverso conversione di energia cinetica in energia potenziale elastica, e viceversa, prescindendo da tutte le altre possibili forme di energia associate alle due biglie,cioè non considerando, per esempio, con riferimento alla teoria della relatività speciale, l'enorme energia associata alla massa a riposo (massa di quiete e relativa energia a riposo) Mo di ciascuna biglia, E = Mo c2 .
Se Mo = 0,2 Kg, E = Moc2 = [0,2 x (3 x 10 8 )2 ] J = [0,2 x 9 x 1016] J = 1,8 x 1016 J.
Solo nel caso in cui i protoni ed i neutroni degli atomi costituenti le biglie fossero riscaldati a temperature di parecchie decine di milioni di gradi kelvin, allo stato di plasma, si verificherebbero eventi di fusione nucleare di nuclei leggeri (idrogeno,deuterio,trizio), con la formazione di elio-4,, in base alla conversione della massa in energia e compatibilmente con il difetto di massa caratteristico della nucleosintesi dell'elio-4 da nuclei più leggeri.
Nell'analisi del fenomeno prescindiamo altresì , sia dall'energia elettrostatica (attrattiva o repulsiva) derivante da eventuali cariche elettriche acquisite dalle biglie prima dell' urto, sia dalla loro temperatura, da cui dipende l'energia totale di agitazione termica di tutte le molecole del materiale
(avorio) di cui sono fatte le biglie. Se ne deduce pertanto , in questo caso come in casi analoghi, che l'espressione “energia di un corpo” non ha significato fisico, in quanto lo studio dell'urto dal punto di vista cinematico implica soltanto la misura della variazione di energia cinetica di ciascuna biglia
per effetto dell'urto elastico, prescindendo da tutte le altre forme di energia.
Tornando all'esperimento concettuale citato,faccio notare anzitutto che nel caso di forze gravitazionali ed elettromagnetiche i corpi interagiscono non direttamente (vedi vecchio modello dell'azione a distanza delle leggi di Newton e Coulomb), ma, come enunciò Einstein (1905), attraverso i rispettivi campi, con un ritardo calcolabile in funzione della distanza tenendo conto del valore finito della velocità della luce (velocità di propagazione dell'interazione). Pertanto sono i campi elettrici, magnetici, elettromagnetici e gravitazionali i mediatori dell' interazione tra corpi, e questi ultimi scambiano energia e quantità di moto soltanto attraverso i campi: nel caso citato, il blocco A, carico positivamente e mobile senza attrito, compie lavoro contro il campo elettrostatico generato dal blocco B,fisso e carico positivamente. Mentre il blocco A avvicinandosi a B subisce un decremento di energia cinetica che si converte in aumento di energia potenziale elettrostatica, il blocco B, essendo fisso nel sistema terrestre e comportandosi pertanto, durante l'urto elastico, come un corpo di massa enormemente più grande (massa della terra) di quella di A, assorbe quasi tutta la quantità di moto del corpo A acquisendo una velocità quasi nulla. Applicando i principi di conservazione dell'energia cinetica e della quantità di moto e considerando che VBiniziale = 0, si ottiene:
1) (1/2)MAVAiniziale2 = (1/2)MAVAfinale2 + (1/2)MBVBfinale2;
2) MAVAiniziale = MAVAfinale + MBVBfinale;
1') MA(VAiniziale2 - VAfinale2) = MBVBfinale2;
2') MAVAiniziale - MAVAfinale = MBVBfinale;
Dividendo membro a membro l'eq. 1') per l'eq. 2'), si ha: VAiniziale + VAfinale = VBfinale;
VAfinale = VBfinale - VAiniziale;
MAVAiniziale - MAVAfinale = MBVBfinale;
MAVAiniziale - MAVBfinale + MAVAiniziale = MBVBfinale;
VBfinale = [2MA/(MA+MB)]VAiniziale;
Essendo MB di gran lunga maggiore di MA, si ha: VBfinale = 0 e VAfinale = - VAiniziale.
Di conseguenza, il blocco A si avvicina a B fino alla distanza d corrispondente alla totale conversione della sua energia cinetica (1/2)MAVAiniziale2 in energia potenziale elettrostatica: KC QAQB/d2: d = SQRT[2 KC QAQB/(MAVAiniziale2)].
Successivamente l'energia potenziale elettrostatica si converte in energia cinetica, con il totale recupero della velocità iniziale da parte del corpo A, che rimbalza a 180° (VAfinale = - VAiniziale),se l'urto è frontale.
Le forze elettriche che A esercita su B e B esercita su A sono forze di azione e reazione, interne al sistema dei due blocchi ed uguali e contrarie, il che implica la conservazione della quantità di moto totale del sistema.
Un altro esempio, analogo al precedente, si ha considerando un corpo lanciato verticalmente verso
l'alto nel campo gravitazionale terrestre: l'unica differenza sta nella forza gravitazionale, che è attrattiva. In questo caso,la Terra corrisponde al blocco B, mentre la palla corrisponde al blocco A.
La palla e la Terra interagiscono non direttamente ma attraverso il campo gravitazionale:
Il lavoro negativo compiuto dalla palla contro il campo gravitazionale (costante in prima approssimazione in prossimità della Terra) durante la salita, viene recuperato attraverso la conversione di energia potenziale gravitazionale in energia cinetica, durante la discesa e
la velocità acquisita dalla Terra è quasi nulla, sia durante la salita che durante la discesa.
weblinks:
(Georgia State University - USA):
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
(MIT- Massachusetts Institute of Technology): http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/modules/ReviewC.pdf
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
La forza coercitiva di un magnete, essendo definita come l'intensità del campo magnetico Hc necessaria per smagnetizzare il magnete, cioè per ridurre a zero l'induzione magnetica B, si misura in amperspire/metro (Asp/m) nel S.I. (sistema internazionale) M.K.S.A. ed in oersted (Oe) nel sistema elettromagnetico assoluto C.G.S.
Considerando che Hc è l'intensità del campo magnetico in Oe che deve essere generata nell'aria dal solenoide impiegato per smagnetizzare il magnete, per esprimere nel sistema C.G.S. l' induzione magnetica (densità di flusso magnetico) B generata nel vuoto (o nell'aria) dal suddetto solenoide basta uguagliare B e H; pertanto se Hc = 1200 Oe, anche Bc , espresso nel sistema C.G.S. in G (gauss), vale 1200 G. Infatti nel sistema C.G.S. e.m., essendo unitaria la permeabilità magnetica del vuoto (o dell'aria), vale la relazione B = H.
Se si considera che nel S.I. l'induzione magnetica Bo nel vuoto in T (tesla) si ottiene moltiplicando l'intensità H del campo magnetico in Asp/m per la permeabilità magnetica del vuoto mo = 4p x 10-7 H/m (henry/metro) e che 1 Oe è pari a 1000/(4p) = 79,577472 Asp/m, si ottiene il valore della forza coercitiva espresso T:
Hc = 79,577472 x 1200 Asp/m = 95492,96 Asp/m;
Bco = moHc =
4p x 10-7 x 95492,96 T = 0,12 T.
Questo valore, tenendo conto che 1 T è pari a 10000 G, equivale a 0,12 x 10000 G = 1200 G nel
sistema C.G.S. e.m. ; risulta infatti Boc = Hc = 1200 G.
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
Consideriamo un magnete permanente costituito da un anello di materiale ferromagnetico di sezione
S = 4 cmq e circonferenza L = 20 cm, nel quale sia stato praticato un taglio di lunghezza La = 5 mm. Pertanto se La è la lunghezza del traferro (spazio entro il quale viene generato il campo magnetico) e LFe = L - La = 195 mm è la lunghezza del materiale ferromagnetico (per es. acciaio, ALNICO (Al-Ni-Co), ferrite, samario-cobalto) , indicando con HFe il campo magnetico (in Asp/m) nel materiale ,Ha
il campo magnetico (in Asp/m) nel traferro e BFe = Ba = B l'induzione
magnetica (densità di flusso magnetico) in T (1 tesla = 1 unità di flusso magnetico/mq = 1 weber/mq = 1 Wb/mq) in tutti i punti del circuito magnetico, applicando il teorema della circuitazione magnetica (di Ampere) si ottiene: HFeLFe + HaLa = 0, essendo nulla, diversamente da quanto si verifica in un solenoide toroidale, la corrente concatenata alle linee di forza del campo magnetico.
Pertanto Ha = - HFe LFe/La, da cui si deduce che, essendo La molto minore di LFe, l'intensità del campo magnetico
nel ferro è molto minore di quella nel traferro (Ha).
D'altra parte, dalla relazione B = mo HFe + IM, dove IM è l'intensità di magnetizzazione del materiale (espressa in T), che equivale al momento di dipolo magnetico (analogo al momento di dipolo elettrico e definito come prodotto massa magnetica x distanza = flusso magnetico in weber x distanza) riferito all'unità di volume (mc): IM si misura in Wb x m/mc = Wb/mq = T), si ottiene:
HFe = (B - IM)/mo;
B = moHa =
- moHFe LFe/La = - (B - IM) LFe/La.
Pertanto si ha: B(1 + LFe/La ) = IM LFe/La;
B = IMLFe/[La + LFe ].
Se si suppone che sia IM = 5000 G = 0,5 T, si ottiene un'induzione magnetica
B = 0,5 x 0,195/( 0,005 + 0,195) = 0,5 x 0,195 /0,2 = 0,4875 T = 4875 G.
L'intensità del campo magnetico nel traferro è pari a B/mo = 0,4875/(4 px 10-7) = 387940,17 Asp/m = 387940,17/79,577472 = 4875 Oe.
Essendo V = SLFe = 0,0004 x 0,195 = 7,8 x 10-5 mc il volume della parte ferromagnetica del circuito,si deduce che il magnete equivale ad un dipolo magnetico di momento M = IM V = 0,5 x 7,8 x 10-5 = 3,9 x 10-5 Wb x m (weber x metro).
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
La formula della resistenza idrodinamica è Fid = (1/2) Cfrv2S, dove S = 3,14 x 0,42/4 = 0,1256 mq è la sezione
del siluro, v = 11 m/s la velocità, r = 1025 kg/mc è la densità media
dell'acqua marina e Cf è un fattore di forma i cui valori vengono forniti da apposite
tabelle ricavate sperimentalmente in funzione del rapporto lunghezza (L)/diametro (d). Nel caso
in esame, essendo L/d = 3,5/0,4 = 8,75, Cf è valutabile, approssimativamente, intorno
a 0,2. Pertanto Fid = (1/2) Cfrv2S =
(1/2) x 0,2 x 1025 x 112 x 0,1256 = 1557,754 N = 158,792 Kg-peso.
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
Condivido completamente la pressante esigenza di rispettare il nostro pianeta, riducendo
al minimo possibile il rilascio di agenti chimico-fisici inquinanti che compromettono irreversibilmente la qualità della vita per noi e per le generazioni che verranno. Bisogna cercare a livello globale di
contrastare l'egoismo e le logiche di profitto fini a se stesse, che costituiscono gravissimi peccati
contro il Creatore dell'universo. La scienza moderna , per quanto avanzata e sofisticata, non sfugge
all' illusoria tentazione, non sempre inconsapevolmente da parte dei suoi protagonisti, di giungere al controllo completo dei meccanismi naturali, pensando di potersi sostituire a Colui che ha inserito nello spazio-tempo e nella materia, sia inerte che vivente, leggi costitutive ed evolutive ferree ed eterne, che lasciano scorgere in prospettiva un quid di imperscrutabile per l'uomo che si pone orgogliosamente al centro dell'universo (si pensi ad alcuni fenomeni quantistici, che tuttora è molto più facile applicare e sfruttare negli attuali sofisticati dispositivi microelettronici e nanotecnologici, che comprendere nella loro intima essenza, al di là dei formalismi teorici più o meno complessi che si possano introdurre per descriverli e quantificarli). Il disegno complessivo dell' universo è sempre
incompleto, anche se perfettibile.
Questa premessa bene si adatta alla scienza delle previsioni delle variazioni climatiche. Si considerino in proposito i fondamentali contributi del matematico e meteorologo statunitense Eduard Norton Lorenz, padre della teoria del caos, molto più noto per l' analisi del cosiddetto “effetto farfalla”:
“Il battito d’ali di una farfalla potrebbe provocare un uragano dall’altra parte del mondo”.
L'analisi dell' effetto farfalla si collega alla considerazione della sconcertante e paradossale imprevedibilità delle soluzioni delle equazioni differenziali accoppiate della teoria del caos , applicate ad un modello di previsione (descritto graficamente dal cosiddetto attrattore di Lorenz) delle precipitazioni atmosferiche, al variare, anche minimo, dei parametri iniziali (condizioni iniziali).
La matematica dei fenomeni caotici, dipendendo da relazioni non lineari tra le variabili, conduce
infatti a soluzioni completamente diverse dal punto di vista degli effetti fisici, anche se si variano
di piccolissime quantità le condizioni iniziali, e ci aiuta a comprendere l'attuale discordanza di previsioni circa il riscaldamento ( o raffreddamento globale). La questione è completamente aperta,
in particolare, per quanto concerne
l' influenza delle attività umane sul riscaldamento del nostro pianeta, come dimostrano le diverse conclusioni cui sono pervenuti gruppi diversi di scienziati.
Citiamo in proposito una ricerca decisamente chiarificatrice condotta in Antartide su una carota
della lunghezza di 3300 m, dalla quale sono state estratte goccioline d'aria risalenti agli ultimi 420000 anni. I dati evidenziano interessantissime variazioni termiche e delle concentrazioni di metano e anidride carbonica, con oscillazioni aventi un periodo di circa 100000 anni, e che giustificano in modo soddisfacente anche le variazioni rilevate negli ultimi 50 anni ! Queste variazioni vengono spiegate soltanto in funzione delle variazioni periodiche del flusso delle particelle cariche (prevalentemente protoni) costituenti il vento solare, in concomitanza con le variazioni delle macchie della fotosfera solare.
Riferimenti web:
http://www.meteo.unina.it/html/modules/sole/mut_clim.htm
http://www.ipcc.ch/.
Per quanto riguarda il secondo quesito, si tratta di magneti permanenti di ferrite al bario-stronzio con un'induzione residua intorno a 220 mT = 2200 G = 2200 Oe, ed una forza coercitiva intorno a 135000 Asp/m.
Tanti cordiali saluti
Gent.ma Francesca,
Le forze F1 = Po S, F2 = Po S, F3 = (Po + r g h)S (h è la distanza tra le pareti della camera), indicate in figura rappresentano rispettivamente la forza esercitata dalla pressione atmosferica Po sulla sezione superiore S del cilindro interno, la forza esercitata dalla pressione atmosferica Po sulla sezione superiore S della camera, in corrispondenza della superficie libera del liquido (con pressione idrostatica nulla) e la forza esercitata sulla parete inferiore della camera dalla pressione Pc = Po + r g h .
Si deduce che, essendo le forze F1 ed F2 uguali e contrarie, è attiva la sola forza F3,che provoca l'abbassamento h' del cilindro interno e la conseguente compressione dell'aria nel cilindro esterno
dal valore iniziale (incognito) Pin fino al valore finale Pfin = Po - (Po + r g h') + Po + r g (h + h') = Po + r g h = Pc.
Infatti, quando il cilindro interno si abbassa di h', mentre la forza F2(diretta verso l'alto) aumenta di r g h'S, la forza F3 (diretta verso il basso) aumenta della stessa entità, e rimane efficace soltanto la forza r g hS, fino al raggiungimento della condizione di equilibrio Pfin = Pc.
Tanti cordiali saluti.
Gent. ma Francesca,
Nel caso proposto,supponendo, per semplicità di calcolo, che la sezione di entrambi i cilindri sia
un quadrato di lato a, il calcolo delle forze F1,F2,F3, dovute alla pressione idrostatica, si effettua
integrando da 0 ad a la forza r g y dS agente sull'area elementare dS = a dy. Pertanto si ottiene il valore: integrale (da 0 ad a) di r g y a dy =
r g a3/2, che rappresenta l'intensità di ciascuna delle tre
forze. A questo punto, non considerando l'azione della pressione atmosferica, i cui effetti dinamici si neutralizzano reciprocamente agendo su aree uguali ed opposte, si deduce che, mentre sulla parete della camera rivolta alla piegatura del tubo a 90° agisce la forza F2, che è bilanciata dalla forza F1 , uguale e contraria ed agente sulla superficie verticale del tubo,oltre la piega, rimane invece non bilanciata la forza F3,che agisce sull'altra parete della camera, spingendo il cilindro interno in quello esterno.
Tanti cordiali saluti.
Gent.mo Alessio,
Il layout multi-gate finger dei transistor mosfet consente di implementare tanti piccoli
transistor mosfet (mosfet elementari), con le stesse caratteristiche geometriche ed elettriche e connessi tra loro in parallelo, al posto di un un unico transistor mosfet.
.
Questa particolare tecnologia microelettronica presenta il vantaggio della minimizzazione della
resistenza del gate e facilita inoltre l'integrazione del mosfet multi-gate assieme ad altri componenti
microelettronici in parecchi dispositivi CMOS (come i convertitori A/D), nei quali differenze di pochi mV o frazioni di mV nelle tensioni di soglia (Threshold voltage) dei mosfet, possono comportare importanti variazioni delle caratteristiche funzionali ed operative.
Nell'ambito di questa tecnologia il termine M-factor (o numero di finger) sta ad indicare il numero
di gate fingers di un mosfet, cioè il numero (2,4, 8 ..... ) delle diramazioni digitiformi (simili alle dita di una mano) del gate. Si tratta in sostanza di realizzare una complessa struttura ad incastro, costituita da tante terne di elettrodi source-gate-drain interdigitate.
Riferimenti web:
1)ims.unipv.it/Microelettronica/Layout02.pdf
2)ece.ut.ac.ir/classpages/S85/RFICTechnology/Chap.4_Active%20Devices/Chapter%204%20-%203-%20MOS%20Transistor.pdf (struttura multi-finger gate a pag. 19)
Buon lavoro e tanti cordiali saluti
Gent.mo Giuseppe,
Il generatore di una torre eolica è un alternatore trifase con l'induttore costituito da potenti magneti
permanenti. Il funzionamento, dipendendo dalla variabile velocità del vento, è necessariamente
asincrono. L'alternatore, il cui albero è azionato da un sistema di ingranaggi moltiplicatori di giri,
eroga una corrente alternata trifase a frequenza variabile, che viene convertita in corrente pulsante
(prodotta dalla sovrapposizione delle tre serie di impulsi sinusoidali unidirezionali di corrente forniti dal raddrizzatore trifase a ponte), per caricare una batteria di accumulatori di adeguata
capacità (ad una tensione di alcune centinaia di volt) oppure una batteria di condensatori di livellamento (di filtro). La potenza elettrica in corrente continua così ottenuta viene fornita ad un
inverter trifase autosincronizzato con la frequenza della rete a corrente alternata alla quale è collegato. L'inverter è gestito da un sistema a microprocessore che provvede a campionare periodicamente la frequenza di rete ed a variare conseguentemente il pilotaggio del ponte trifase di transistor di potenza IGBT (Insulated Gate BJT Transistor), in modo tale che la corrente alternata generata sia agganciata , in tempo reale ed in frequenza e fase, a quella fornita dalla rete elettrica.
Riferimenti web:
http://www.fullsolar.it/14.html
http://www.energia-eolica.it/
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
Nel primo caso (tubo fermo), assumendo l'asse y orientato verso l'alto e con l'origine (y = 0) coincidente con la posizione del fondo del tubo, il moto della sfera è naturalmente accelerato (g = - 9,81 m/s2, yi1 = 6 m, vf1 = - 35 m/s ) dall'istante iniziale fino all' istante t1 = vf1 /g = - 35/(-9.81) = 3,567 s.
L'equazione del moto della sfera è y = yi1 + (1/2)gt2 = 6 - 0,5 x 9,81 x t2 = 6 - 4,905 t2.
Per t > t1 = 3,567 s il moto è uniformente ritardato, con vi2 =vf1 = -35 m/s , vf2 = 0 , yi2 = 3 m, yf2= 0.
Pertanto, dall' equazione vf22 = vi2 2 + 2 a (yf2 - yi2) si ottiene l'accelerazione a:
a = [vf22 - vi2 2]/[2 (yf2 - yi2)] = [0 - (-35)2 ]/[2 (0 - 3)] = -1225/(-6) = 205,16 m/s2.
Misurando il tempo t a partire dall'istante t1 = 3,567 s , l'equazione del moto della sfera è: y = yi2 + vf1t + (1/2)at2 = 3 - 35 t + 0,5 x 205,16 t2 = 3 - 35 t + 102,58 t2 .
La velocità della sfera è data dall'equazione : vf2 = vi2 + at =
-35 + 205,16 (t - t1), dalla quale si ottiene l'istante t2 = t1 + 35/205,16 = 3,567 + 0,17059 = 3,737 s in cui la sfera raggiunge il fondo del tubo (vf2 = 0).
Nel secondo caso, l'equazione del moto uniforme del tubo è yt = 11t.
Facendo sistema con l'equazione del moto della sfera per t > 3,567 s , si ha:
11 t = 3 - 35 t + 102,58 t2;
102,58 t2 - 46 t + 3 = 0;
t = [23 +/- sqrt(232 - 102,58 x 3)]/102,58 = [ 23 +/- sqrt(221,26)]/102,58 =
= [23 +/- 14,874]/102,58. Si ottengono i valori: 0,369 s e 0,0792 s, corrispondenti alle posizioni del tubo yt1 = 0,369 x 11 = 4,059 m e yt2 = 0,0792 x 11 = 0,8712 m.
Osservando che la prima soluzione (4,059 m) è inaccettabile, essendo maggiore della posizione iniziale della sfera (3 m) nella seconda fase del moto, si sceglie la seconda soluzione (y = 0,872 m.
per t = 0,0792 s, corrispondente a t' = (0,0792 + 3,567) s = 3,646 s a partire dall'inizio del moto).
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Francesco,
1) Il passaggio dalla relatività speciale (o ristretta ai sistemi di riferimento inerziali, cioè non accelerati)
alla relatività generale consente di scrivere le equazioni delle leggi fisiche in forma covariante rispetto
a qualsiasi sistema di riferimento, accelerato o non e quindi, grazie al principio di equivalenza tra un campo
gravitazionale ed un moto accelerato del sistema di riferimento, anche allo spazio-tempo contenente distribuzioni di materia e di energia (di qualsiasi tipo,sia cinetica che potenziale,associata a forze elettromagnetiche, nucleari e subnucleari deboli e forti). La relatività generale consente in altri termini di
scrivere le leggi fisiche in modo indipendente dal sistema di riferimento, tenendo conto della curvatura
dello spazio-tempo prodotta da distribuzioni di massa-energia, cioè, sia da masse localizzate, in quiete o in moto rettilineo o rotatorio, sia da distribuzioni di massa dotate di qualsiasi tipo di moto rispetto al sistema di riferimento prescelto.
In questo contesto la teoria einsteiniana della gravitazione rientra come caso particolare nella relatività
generale, che è la teoria relativistica generale degli spazi curvi associati a moti accelerati dovuti a qualsiasi forza ed equivalenti a tutti gli effetti ai moti prodotti dai fenomeni gravitazionali.
2,3) Mentre la teoria di Newton si basa sull'azione attrattiva a distanza che si esercita tra masse e distribuzioni di materia nello spazio, la teoria einsteiniana della gravitazione elimina il concetto di forza gravitazionale e riconduce la gravità alla geometria degli spazi curvi, nel cui ambito lo studio del moto di due o più masse
si riduce alla ricerca della particolare curva geodetica (linea geodetica definita analogamente alla circonferenza equatoriale ed ai meridiani e paralleli terrestri ), corrispondente ad una traiettoria di
lunghezza minima descritta da ciascuna massa in presenza di altre masse. Spesso, per spiegare la teoria
einsteiniana della gravitazione si afferma che la massa dice allo spazio-tempo come curvarsi e lo spazio-tempo
curvo dice alla massa come muoversi (la massa si muove per effetto della deformazione dello spazio-tempo
da essa stessa prodotta).
Tornando al modello a membrana elastica utilizzato per spiegare la teoria della gravitazione einsteiniana,
se una sferetta subisce una spinta tangenziale, è portata a percorrere una traiettoria elicoidale di raggio decrescente, che per effetto della curvatura della membrana, tende a far cadere la sferetta nella depressione creata dalla sfera grande. E' questo il caso dei pianeti del sistema solare che orbitano intorno al sole per
effetto della curvatura dello spazio-tempo prodotta sia dalla massa del sole che dall'energia cinetica iniziale (si tenga presente il principio di equivalenza massa-energia) con cui il pianeta si è immesso nel campo gravitazionale solare.Si tenga presente che nel caso dei pianeti la curva geodetica è un'ellisse più o meno arrotondata, e che un pianeta non cade sul sole poichè sono trascurabili le forze che dissipano l'energia cinetica iniziale, il che invece non avviene, a causa dell'attrito, nel caso della sferetta posta su una membrana elastica deformata. Se invece la sferetta è ferma o se le viene impressa una spinta in direzione radiale, è portata a cadere nella depressione senza orbitare attorno ad essa. E' questo il caso del moto rettilineo (accelerato) di caduta libera di una massa , con velocità tangenziale nulla, su un'altra massa. Ma anche se due masse sono inizialmente ferme (con componenti radiale e tangenziale della velocità iniziale entrambe nulle),sono destinate ad urtarsi. Infatti, se si tiene presente che,in presenza di massa, il tempo viene rallentato in misura tanto più grande quanto più grande è l'intensità del campo gravitazionale (si pensi che in corrispondenza dell'orizzonte degli eventi di un buco nero, il tempo cessa di fluire, ivi essendo infinita l'intensità del campo gravitazionale),si deduce che nel sistema di riferimento locale di ciascuna delle due masse il tempo viene rallentato per effetto della curvatura prodotta da entrambe le masse, con la conseguenza che un osservatore posto su ciascuna di esse misura una progressiva contrazione della distanza tra le stesse per effetto del rallentamento del fluire del tempo, cioè della quarta dimensione dello spazio-tempo, che si accorcia progressivamente. In tal modo, la progressiva deformazione (contrazione dello spazio) è del tutto equivalente ad un moto accelerato di ciascuna massa che si avvicina all'altra, senza che intervenga alcuna forza attrattiva.
In altri termini, non appena la seconda massa si trova in presenza dell'altra, si determina una piccola contrazione iniziale: le masse si avvicinano lungo la linea congiungente le loro posizioni iniziali intensificando la deformazione dello spazio-tempo, che a sua volta fa avvicinare ancora le masse, intensificando ancora il campo gravitazionale e quindi la deformazione, e così via, con una velocità di deformazione rapidamente crescente, fino all'urto finale. Così si spiega anche la caduta libera di un grave nel campo gravitazionale terrestre, dove la deformazione (contrazione dello spazio-tempo) è determinata quasi completamente dalla Terra e la linea geodetica si riduce alla verticale.
Nel caso del moto di un proiettile la curvatura dello spazio dipende dalla massa della Terra e del proiettile e dalla velocità di lancio, e la geodetica è una parabola o un arco di
parabola.
4) La teoria della relatività generale di Einstein è una teoria classica, cioè incompatibile con i principi della
fisica quantistica. Infatti in essa lo spazio-tempo è un continuum quadridimensionale non discretizzato (non
quantizzato) . Non può pertanto essere utilizzata per descrivere i fenomeni gravitazionali a livello microscopico. Da tanti anni i fisici si cimentano nel formulare varie teorie che riescano a rendere compatibile
la relatività generale con le teoria quantistiche dei campi (elettrodinamica quantistica , teoria elettrodebole e
cromodinamica quantistica) , ma con scarsi risultati. Si è ipotizzata addirittura l'esistenza del gravitone, bosone privo di massa, con spin 2 , analogo al fotone ed al gluone, al fine di spiegare quantisticamente la
forza gravitazionale tra due particelle, ma gli esperimenti eseguiti non hanno evidenziato alcun gravitone,
anche perchè la forza gravitazionale (non a caso si continua a parlare di forza e non di curvatura dello spazio-tempo, quasi a voler sottolineare la predetta incompatibilità) è la più debole rispetto alle altre tre forze fondamentali ( elettromagnetica, subnucleare debole e subnucleare forte). La teoria più accreditata per quantizzare la relatività generale è la cosiddetta gravità quantistica a loop, che si basa su una sofisticata discretizzazione dello spazio-tempo su scala microscopica, anche se mancano tuttora riscontri sperimentali.
Una valida teoria quantistica della gravità dovrebbe spiegare,tenendo conto del principio di indeterminazione di Heisenberg, la struttura "schiumosa" dello spazio-tempo alle dimensioni della scala di PlancK (10-35m) ed al momento del big-bang, basata sulla continua creazione ed evaporazione (per effetto della radiazione di Hawking) di buchi neri infinitesimi che determinerebbero la curvatura microscopica dello spazio-tempo quantizzato, formato cioè da un numero grandissimo
di celle di spazio-tempo infinitesime, che si modificherebbero in continuazione per rendere conto adeguatamente dei
fenomeni gravitazionali quantistici degli oggetti fondamentali (leptoni e quark).
Tanti cordiali saluti
Gent. mo Francesco,
1) Lo spostamento del perielio di Mercurio, calcolato con la teoria newtoniana e tenendo conto delle perturbazioni prodotte dagli altri pianeti e del fatto che il sistema di riferimento terrestre, essendo rotante, non è inerziale, risulta pari a 5557 secondi d'arco per secolo, con un difetto di 43” rispetto al valore di 5600” misurato dagli astronomi e previsto dalla teoria della relatività generale. Si consideri che la precessione secolare del perielio è dovuta al fatto che le orbite relativistiche, essendo,a differenza di quelle newtoniane, non chiuse, sono costituite da una serie continua di ellissi i cui assi ruotano lentamente nello stesso senso del moto orbitale descrivendo un'orbita aperta a forma di rosetta. In effetti la precessione del perielio si verifica per tutti gli altri pianeti, ma è significativa soltanto per Mercurio, a causa della notevole curvatura dello spazio conseguente alla piccola distanza dal Sole, rispetto alle distanze degli altri pianeti.
Infatti, essendo per tutti gli altri pianeti l'accordo tra le due teorie tanto maggiore quanto maggiore è la distanza dal Sole, per effetto della decrescente curvatura dello spazio, la rotazione dei relativi assi orbitali è così piccola che le orbite relativistiche a rosetta tendono a coincidere con le orbite classiche di Keplero-Newton.
2) Si tenga presente che, poichè gli effetti relativistici sono significativi per velocità molto vicine a quella della
luce, nel caso di oggetti macroscopici come un'auto o un'astronave, data la notevole massa, per osservare gli effetti relativistici, bisognerebbe conferire energie enormi, di gran lunga al di fuori dei convenzionali valori
pratici, con la conseguenza che la teoria sembra assurda dal punto di vista del riscontro pratico. Se si considerano invece gli oggetti del mondo microscopico, cioè le particelle elementari, le cui masse sono oltre trenta ordini di grandezza minori di quelle degli oggetti macroscopici, si pensi che le velocità microscopiche sono vicinissime a quelle della luce pur con energie enormemente più piccole di 1 joule (1 MeV = 1,6 x 10-13J).
3) L'osservazione è giusta. Infatti l'ascensore, a differenza della persona al suo interno, non muovendosi nel vuoto,è soggetto alla resistenza aerodinamica ed alle forze d'attrito che rendono sensibilmente inferiore l'accelerazione dell'ascensore rispetto a quella della persona che cade al suo interno.
4) Tra le tante teorie gravitazionali quantistiche, la teoria quantistica a loop è una teoria concepita per quantizzare lo spazio-tempo alla scala di Planck, senza alcun riferimento al concetto di forza, intesa come
forza di scambio tra due masse, attraverso l'ipotetico gravitone, quanto di massa nulla e range infinito, in analogia con il fotone , che è anch'esso un quanto di massa nulla e range infinito, mediatore delle forze elettromagnetiche. Pertanto la gravità quantistica a loop si limita a quantizzare (discretizzare) lo schema del continuo quadridimensionale della relatività generale, senza fornire alcuna via di unificazione della gravità con le altre tre forze fondamentali. Esistono altresì teorie quantistiche (le varie versioni della teoria delle stringhe (corde) e delle superstringhe (supercorde)) che si propongono di unificare tutte e quattro le forze fondamentali nell'ambito di formulazioni fisico-matematiche, più matematiche che fisiche, costruite in spazi
a 10 e ad 11 dimensioni ed includenti il gravitone come quanto mediatore della forza gravitazionale. Si tratta
di teorie molto complesse sul piano matematico, in quanto fanno riferimento a 6 o 7 dimensioni attualmente
non accessibili, in quanto “arrotolate” sotto forma di spire di raggio comparabile con la lunghezza di Planck
(10-35 m), e ad oggetti fondamentali di dimensioni comparabili con la scala di Planck, le cosiddette stringhe (unidimensonali o pluridimensionali) , aperte o chiuse ad anello, e le cui energie quantizzate corrispondono sia alle varie particelle note nell'ambito del modello standard (fermioni e bosoni)
,sia a tante altre particelle tuttora non rivelate, ma forse presenti nell'universo come costituenti della cosiddetta “materia oscura” , tuttora del tutto inesplorata. Bisogna precisare che tutte queste teorie di stringa sono tuttora degli schemi teorici tutt'altro che definitivi ed univoci, con i quali i fisici teorici tentano di realizzare il sogno della descrizione unitaria delle quattro forze (in conflitto pertanto con la teoria della relatività generale e con la teoria quantistica a loop), e che non sono state confermate neanche minimamente, in
quanto per farlo occorrerebbe disporre di superacceleratori di dimensioni improponibili, in grado di produrre urti alle energie primordiali della
scala di Planck (1028 eV),cioè 7,142x1014 volte maggiori della massima energia che sarà
raggiunta dal superacceleratore LHC del CERN (14000 GeV = 14 x 1012 eV).
Si consideri d'altra parte che, essendo l'interazione gravitazionale 1040 volte meno intensa di quella
subnucleare forte tra i quark, rivelare l'ipotetico gravitone è estremamente difficile, come è estremamente difficile rivelare le onde gravitazionali (periodiche increspature dello spazio-tempo) provenienti dalle profondità dell'universo a seguito di collassi stellari o associate a gigantesche emissioni di energia radiante (gamma ray burst). Mentre per lo studio del fotone (quantizzazione dell'energia elettromagnetica) sono state sempre disponibili sorgenti di onde elettromagnetiche di varie frequenze,interessanti la maggior parte dello spettro elettromagnetico, non è così per lo studio della quantizzazione dell'energia gravitazionale,in quanto, diversamente da quanto si fa con le cariche elettriche oscillanti (elettroni) generate da dispositivi elettronici vari (tubi elettronici, transistor,magnetron, klystron) ,non si possono costruire dispositivi di dimensioni ragionevoli in grado di accelerare masse grandissime per produrre onde gravitazionali artificiali. Bisogna pertanto tentare di studiare con giganteschi interferometri laser (progetti internazionali LIGO e VIRGO) o con complesse reti di rivelatori di raggi gamma (Progetto SWIFT) le debolissime onde gravitazionali naturali.
Riferimenti web:
http://www.superstringtheory.com/
http://www.virgo.infn.it/
http://www.ligo.caltech.edu
http://www.merate.mi.astro.it/docM/OAB/Research/SWIFT/POESw/intro.html
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
Indicando con h l'altezza del cilindro, con P = rgh il peso dell'acqua in esso contenuta inizialmente e con y l'altezza di cui il fondo superiore è stato sollevato rispetto alla superficie libera dell'acqua, si consideri che nella parte del cilindro di altezza y, estratta
dall'acqua, il livello dell'acqua si abbassa di y (per il principio dei vasi comunicanti) portandosi allo stesso livello dell'acqua circostante e che il peso dell'acqua fuoriuscita dal cilindro è
P(y) = rgy, mentre la forza (diretta verso l'alto) dovuta alla pressione idrostatica agente su fondo immerso alla profondità h - y è Fup(h - y) = rg(h - y) .
Pertanto la forza risultante necessaria per estrarre di y il cilindro è
Festr (y) = P (peso dell'acqua inizialmente contenuta nel cilindro) -P(y) ( peso dell'acqua fuoriuscita) - Fup(h - y) (forza agente sul fondo immerso) = rgh -
rgy - rg(h - y) = 0.
In altri termini la diminuzione di peso conseguente alla fuoriuscita dell'acqua è esattamente compensata dalla diminuzione della spinta verso l'alto agente sul fondo immerso; di conseguenza,
mentre il peso dell'acqua nel cilindro diminuisce da rgh a rgh - rgy =rg(h - y) , contemporaneamente la spinta sul fondo immerso diminuisce della stessa entità, cioè da Fup(h) = rgh a Fup(h-y) = rg(h - y), lasciando immutato l'equilibrio iniziale tra le due forze uguali e contrarie al variare dell'altezza di estrazione y.
Quindi la forza risultante Festr (y), inizialmente nulla, si mantiene costantemente nulla fino all'estrazione completa del cilindro.
Se invece il cilindro fosse privo di fori, la forza di estrazione, al crescere di y da 0 ad h, crescerebbe linearmente con la legge Festr(y) = P - Fup(h - y) = rgh -rg(h - y) = rgy, assumendo il valore Festr(0) = 0 per y = 0 ed il valore Festr(h) = rgh = P (peso dell'acqua) per y = h (cilindro completamente estratto).
Tanti cordiali saluti
Gent.mo Francesco,
1) Si consideri che i principi di relatività galileiano ed einsteiniano richiedono che le leggi fisiche siano covarianti nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro, che cioè le relative equazioni mantengano la stessa struttura (forma) matematica. In particolare, questo vale, per quanto riguarda la relatività galileiana, per la seconda legge della dinamica, che nei sistemi inerziali S ed S', assume rispettivamente le forme
F = ma ed F' = ma'. Infatti, se entrambi i sistemi sono inerziali, un corpo non soggetto a forze, rispetto ad essi si muove con moto rettilineo uniforme o continua a rimanere fermo se è fermo inizialmente rispetto ad uno di essi. La stesso si verifica per le equazioni di Maxwell nel passaggio da un sistema inerziale S ad un altro ,S', qualora si applichino le trasformazioni di Lorentz, per le quali il tempo non è più assoluto, ma si trasforma, al pari delle coordinate spaziali, passando da S a S'.
La covarianza richiede pertanto che
ad ogni termine di un'equazione, per esempio un rapporto A/B o un prodotto AB, espresso in base alle grandezze fisiche A e B in S, corrisponda rispettivamente un rapporto A'/B' o un prodotto A'B', espresso in base alle grandezze fisiche A' e B' in S', anche se A e A' e B e B' non assumono uguali valori, in quanto si trasformano con ben determinate relazioni che forniscono A' e B' in funzione di A e B, e viceversa.
L'invarianza delle leggi fisiche, invece, a differenza della covarianza, è più stringente, in quanto implica addirittura l'uguaglianza delle grandezze (A' = A; B' = B), in aggiunta alla conservazione della stessa struttura matematica.
Per esempio, se si considera una trasformazione galileiana tra i sistemi inerziali S ed S', la seconda legge della dinamica F = ma, oltre ad essere covariante, è anche invariante, in quanto la forza agente F' uguaglia
F in assenza di forze apparenti del moto relativo (in quanto i sistemi non sono accelerati l'uno rispetto all'altro) e la massa (inerzia) è invariante; di conseguenza le accelerazioni a e a' coincidono .
Il principio di relatività generale afferma pertanto che le leggi fisiche sono espresse in tutti i sistemi di riferimento, inerziali e non, da equazioni covarianti, cioè mantenenti la stessa struttura matematica dei singoli termini nel passare da un sistema di riferimento S , accelerato o non accelerato, ad un altro sistema di riferimento S', accelerato o non accelerato, anche in presenza di campi gravitazionali, che sono equivalenti a campi di forze inerziali dovute ad accelerazioni del sistema di riferimento.
2) Si tenga presente che, anche senza ricorrere alle equazioni gravitazionali di Einstein, l'applicazione
delle equazioni della dinamica nell'ambito della relatività ristretta e quindi la considerazione della variabilità della massa con la velocità, conducono ad orbite a rosetta, caratterizzate dalla precessione del perielio (e dell'afelio, per la rotazione dell'asse maggiore) rispetto al centro di forza solare. La stessa cosa si verifica per una carica elettrica q ,di massa m, soggetta alla forza attrattiva coulombiana generata da un'altra carica elettrica (elettrone dell' atomo di idrogeno). Questo significa che l'effetto precessionale è collegato essenziamente alle periodiche variazioni
di massa del corpo in orbita, sia con l'aumento di velocità, dall' afelio verso il perielio, sia con la diminuzione
di velocità, dal perielio verso l'afelio.
In relatività generale le orbite a rosetta si spiegano con analoghe variazioni della curvatura dello spazio-tempo, in aumento dall' afelio verso il perielio ed in diminuzione dal perielio verso l'afelio.
In altri termini, poichè la curvatura dello spazio-tempo del sistema pianeta-Sole dipende dalla massa-energia
complessiva del sistema, al crescere della velocità dall'afelio verso il perielio,cresce, di pochissimo, la massa relativistica e con essa l'energia cinetica e la curvatura dello spazio-tempo. Successivamente il pianeta, raggiunta la posizione del perielio, la oltrepassa di poco, prima che inizi la diminuzione di velocità, che implica la diminuzione della massa relativistica e della curvatura dello spazio-tempo procedendo dal perielio
verso l'afelio. Quindi il ciclo si ripete con periodiche variazioni di massa-energia e di curvatura e conseguenti
piccoli avanzamenti della posizione del perielio.
3) Ci si riferisce ovviamente alla variazione della direzione della velocità per effetto della curvatura dello spazio-tempo,non al valore della velocità scalare c (modulo) , che è una costante universale. Si pensi che anche le onde gravitazionali si propagano con velocità c.
4) Anche se, per la legge di Wien, la massima intensità della radiazione termica, alla temperatura tipica di 2700°K (il tungsteno fonde a 3695°K), si ha nell'infrarosso, una percentuale significativa della potenza radiante viene emessa nello
spettro visibile, in quantità sufficiente al raggiungimento dell'incandescenza, cioè dello “sbiancamento” dello spettro, anche se la maggior parte della potenza elettrica si converte in radiazione termica.
Soltanto con temperature maggiori o uguali a 5000 °K il massimo di emissione si sposta nello spettro visibile.
Tanti cordiali saluti.
Gent. ma Francesca,
Indicando con Mc = 60 kg la massa del sistema carrello-cilindro, con Mp
= 1,5 kg la massa del pistone, con Vfc la velocità finale del carrello, con Vfp la velocità finale del pistone, con DV = 3,14 x 0,12x0,3/4 = 0,002355 mc la variazione di volume relativa alla corsa di 30 cm = 0,3 m e con p = 9,81 x 5 /0,0001 = 4,905 x 105 N/mq la pressione dell'aria nel cilindro, applicando il teorema
lavoro-energia ed il principio di conservazione della quantità di moto, si ha: pDV = (1/2)Mc Vfc2 + (1/2)Mp Vfp2;
Mc Vfc + Mp Vfp = 0;
Risolvendo si ottiene: Vfc = -Mp Vfp /Mc ;
pDV = (1/2) Mc[-Mp Vfp /Mc]2 + (1/2)Mp Vfp2;
Vfp = sqrt[2 pDV/[Mp(1 + Mp/Mc)]] = sqrt (2 x 4,905 x 105 x 0,002355/[1,5 x(1 + 1,5/60)]) =
= sqrt(2310/(1,5 x 1,025)) = sqrt(2310/1,5375) = sqrt(1502,43) = 38,761 m/s.
Vfc = -1,5*38,761/60 = - 0,969 m/s.
Tanti cordiali saluti
Gent. ma Francesca,
Nel primo tratto, per 0 < x < x1 <=6 m, indicando con Fm = 3500 N la forza motrice , l'accelerazione è a1 = Fm/M = 3500/100 = 35 m/s2, il moto è uniformemente accelerato (x1 = (1/2) a1 t2) ed il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione x1 = 6 m è t1 = sqrt(2
x1/a1) = sqrt(2 x 6 /35) = sqrt(0,3428) = 0,585 s.
La velocità finale è vf1 = a1 t1 = 35 x 0,585 = 20,475 m/s.
Nel secondo tratto, per 6 < x <= x2 = 7 m, essendo vf2 - vf1 = - 5 m/s la variazione di velocità per x = 7 m, la velocità finale del moto uniformemente ritardato è vf2 = 20,475 - 5 = 15,475 m/s . Pertanto si ha: vf22 = vf12 + 2 a2 (x2 - x1) e la decelerazione prodotta dalla forza risultante Fm - Fr , dove Fr è la forza resistente, è a2 = (vf22 - vf12)/(2 (x2 - x1)) = (15,4752 - 20,4752)/(2 x (7 - 6)) = -89,875 m/s2. Pertanto la forza resistente è Fr = Fm - Ma2 = 3500 - 100 x (-89,875) = 12487,5 N ed il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione x2 = 7 m
è t2 = (vf2 - vf1)/a2 = -5/(-89,875) = 0,0556 s.
Nel terzo tratto, per 7 < x <= x3 = 8 m,essendo costante la decelerazione a3 = a2 = - 89,875 m/s2,il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione x3 = 8 m
è t3 = (vf3 - vf2)/a3 = -5/(-89,875) = 0,0556 s.
vf3 = vf2 - 5 = 15,475 - 5 = 10,475 m/s.
Nell' ultimo tratto, per 8 < x <= x4 = 9 m, il moto è uniformemente ritardato e si ha:
vf42 = vf32 + 2 a4 (x4 - x3), con vf4 = 0.
La decelerazione è a4 = (0 - vf32)/(2(x4 - x3)) = - (10,475)2/ (2 x (9 - 8)) = - 109,725/2 = - 54,863 m/s2.
Il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione x4 = 9 m è t4 = (0 - vf3)/a4 = - 10,475/-54,863 = 0,19 s.
In definitiva, essendo t tot = t1 + t2+ t3+ t4 = 0,585 + 0,0556 + 0,0556 + 0,19 = 0,8862 s il tempo impiegato dal carrello per percorrere il tratto d = 9 m, la velocità media del carrello, relativa allo spazio percorso d, è vm = d/t tot = 9/0,8862 = 10,155 m/s.
Tanti cordiali saluti.
Gent. ma Francesca,
Nel primo tratto, per 0 < y < y1 <=6 m, indicando con Fm = 3500 N la forza motrice verticale e com P = Mg = 100 x 9,81 = 981 N, l'accelerazione è a1 = (Fm - Mg)/M = Fm/M - g = (35- 9,81) m/s2 = 25,19 m/s2, il moto è uniformemente accelerato (y = (1/2) a1 t2) ed il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione y1 = 6 m è t1 = sqrt(2
y1/a1) = sqrt(2 x 6/25,19) = sqrt(0,476) = 0,69 s.
La velocità finale è vf1 = a1 t1 = 25,19 x 0,69 = 17,381 m/s.
Nel secondo tratto, per 6 < y <= y2 = 7 m, essendo vf2 - vf1 = - 5 m/s la variazione di velocità per y = 7 m, la velocità finale del moto uniformemente ritardato è vf2 = 17,381 - 5 = 12,381 m/s . Pertanto si ha: vf22 = vf12 + 2 a2 (y2 - y1) e la decelerazione prodotta dalla forza risultante Fm - Mg - Fr , dove Fr è la forza resistente verticale, è a2 = (vf22 - vf12)/(2 (y2 - y1)) = (12,3812 - 17,3812)/(2 x (7 - 6)) = -74,405 m/s2. Pertanto la forza resistente è Fr = Fm - Mg - Ma2 = 3500 - 981 - 100 x (-74,405) = 9959,5 N ed il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione y2 = 7 m
è t2 = (vf2 - vf1)/a2 = -5/(-74,405) = 0,0672 s.
Nel terzo tratto, per 7 < y <= y3 = 8 m,essendo costante la decelerazione a3 = a2 = - 74,405 m/s2,il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione y3 = 8 m
è t3 = (vf3 - vf2)/a3 = -5/(-74,405) = 0,0672 s.
vf3 = vf2 - 5 = 12,381 - 5 = 7,381 m/s.
Nell' ultimo tratto, per 8 < y <= y4 = 9 m, il moto è uniformemente ritardato e si ha:
vf42 = vf32 + 2 a4 (y4 - y3), con vf4 = 0.
La decelerazione è a4 = (0 - vf32)/(2(y4 - y3)) = - (7,381)2/ (2 x (9 - 8)) = - 54,479/2 = - 27,239 m/s2.
Il tempo impiegato dal carrello per raggiungere la posizione y4 = 9 m è t4 = (0 - vf3)/a4 = - 7,381/-27,239 = 0,27 s.
In definitiva, essendo t tot = t1 + t2+ t3+ t4 = 0,69 + 0,0672 + 0,0672 + 0,27 = 1,0944 s il tempo impiegato dal carrello per percorrere il tratto d = 9 m, la velocità media del carrello, relativa allo spazio percorso d, è vm = d/t tot = 9/1,0944 = 8,223 m/s.
La potenza media sviluppata dalla forza motrice Fm = 3500 N è pertanto Pm = Fm vm = (3500 x 8,223) W = 20780,5 W = 20,7805 Kw.
Tanti cordiali saluti.
