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AB/(CD) IS THE RATIO BETWEEN THE PRODUCT OF A BY B AND THE PRODUCT OF C BY D;
df(x)/dx IS THE DERIVATIVE OF THE FUNCTION f(x);
M = R²P/(Gm) =

R ²P
= ---------
(Gm).

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R²P
= ---------
(Gm).

DOMANDE

Egregio prof. re,
nello studiare argomenti di termodinamica, dovrei risolvere due quesiti:
- se l'aria contenuta in un volume di 3mc alla pressione di 1 Kg/cmq venisse compressa adiabaticamente alla pressione di 5 Kg/cmq., occuperebbe un volume più piccolo. E, se dovessimo tenere conto della temperatura iniziale dell'aria, supposto che sia a 25°C, quale volume occuperebbe?
-In un serbatoio di accumulo per aria compressa, sono accumulati 400 lt di aria alla pressione di 11 Kg/cmq. Se la temperatura dell'aria è di 180 °C, determinare l'energia termica ,misurata in KJ, sviluppata da una turbina alimentata dal serbatoio.
Moltissime grazie, Francesca

Gent. ma Francesca,
- Se V_i = 3 mc., p_i = 1 Kg/cmq = 3 x 9,81 /0,0001 = 2,943 x 10⁵ N/mq, p_f = 5 Kg/cmq = 5 x 9,81 /0,0001 = 4,905 x 10⁵ N/mq,si ha: V_f = (p_i/p_f)^(1/g)V_i = (2,943 x 10⁵ /4,905 x 10⁵) ^(1/1,40) x 3 = 0,6 ^0,71428 x 3 = 2,0828 mc.
Per determinare il volume d'aria V_i alla temperatura T_i = (273 + 25) °K = 298 °K, corrispondente al volume V_f di 2,0828 mc, bisogna calcolare anzitutto la temperatura T_f al termine della compressione adiabatica, facendo sistema con l'equazione di stato pV = nRT (V = nRT/p):
nRT_f/p_f = (p_i/p_f) ^(1/g)nRT_i/p_i;
T_f = T_i(p_i/p_f)^{[(1 - g)/g]} = 298 x (2,943 x 10⁵/4,905 x 10⁵) [(1 - 1,4)/1,4] = 298 x 0,6^(-0,2857) = 344,82 °K.
Dall'equazione di stato p_iV_i/T_i = p_fV_f/T_f;
V_i = (T_i/T_f) (p_f/p_i) V_f = (298/344,82) x (4,905 x 10⁵/2,943 x 10⁵ ) x 2,0828 = 2,999 mc, coincidente in pratica con i 3 mc del volume iniziale assegnato.
- Dall'equazione di stato si ottiene il numero n di moli di gas: n = pV/(RT) = (11 x 9,81/0,0001) x 0,4 /(8,31 x (180 + 273)) = 114,662 moli.
Supponendo che la temperatura finale sia di 25 °C, si ha : T_f = 298 °K.
Essendo C_v = 4,98 cal/(mole °K), si calcola la variazione di energia interna dell'aria che si espande raffreddandosi da 453 °K a 298 °K: DU = n C_v (T_f - T_i) = 114,662 x 4,98 x (298-454) = - 8,907 x 10⁴ cal = - 4,18 x 8,907 x 10⁴ J = -372312,6 J = -372,3216 KJ.
Tanti cordiali saluti

Egregio prof. re,
considerando un esercizio che ha svolto tempo fa e, precisamente riguardante un pistone di superficie x mq. dove insisteva un peso di y Newton, il tutto per calcolare la corsa del pistone che avrebbe percorso, ebbene Lei numericamente ha sviluppato esattamente il quesito. Ora Le chiedo se fosse possibile calcolare comunque la corsa tenendo conto degli stessi dati, aggiungendo la temperatura iniziale dell'aria (per es. a 15°C) e conoscere magari la temperatura finale della compressione.
La saluto con molti ringraziamenti.
Francesca

Gent. ma Francesca,
La corsa d del pistone rimane invariata se si considerano i dati del quesito precedente: p_i = 1 atm = 1,013 x 10⁵N/mq: pressione iniziale (z) dell'aria nel cilindro (si suppone che sia pari alla pressione atmosferica p_a = 1,013 x 10⁵N/mq;
p_f = 1,1111 x 105 N/mq. pressione finale dell'aria nel cilindro, al termine della compressione adiabatica prodotta dal peso;
V_i = 2000 cmc = 0,002 mc: volume iniziale;
V_f = 1,829 x 10^-3 mc: volume finale.
T_i = (15 + 273)°K = 288 °K: temperatura iniziale.
Per calcolare la temperatura finale bisogna utilizzare l'equazione della trasformazione adiabatica in funzione di T e V:
T_f = T_i (V_i/V_f)^{g - 1} = 288 (0,002/1,829 x 10^-3 ) ^{1,4 - 1} = 288 x 1,093 ^0,4 = 298,42 °K.
Tanti cordiali saluti

Egregio prof.re, deve perdonarmi se insisto sullo stesso argomento di termodinamica e, pertanto le formulo la seguente domanda: -dal calcolo sviluppato nella precedente risposta, per conoscere il valore del volume finale a cui corrisponde Vf=1,829 mc, lo stesso valore potrebbe concidere con altro procedimento di calcolo attraverso l'equazione di stato in cui Vf= Vi.(Pi/pf) elevato a 1/K.? Sicuramente avrò commesso un errore di valutazione, mi può gentilmente chiarire l'equivoco? (N.b. se non vi è bisogno di produrre la risposta sul Web, mi può rispondere privatamente).
La ringrazio tantissimo, Francesca

Gent. ma Francesca,
Il procedimento adottato nella soluzione del quesito in oggetto è essenziale per il calcolo del volume finale Vf = 0,001829 mc = 1829 cmc, in quanto sono noti soltanto la pressione iniziale pi = 1,013 E 5 N/mq ed il volume iniziale Vi = 2000 cmc, mentre la pressione finale pf = 1,1111 E 5 N/mq si ricava dalla condizione di equilibrio tra la stessa e la pressione risultante da quella iniziale sommata a quella esercitata dal peso del pistone. Una volta nota pf, per determinare Vf bisogna imporre che il lavoro meccanico svolto dal peso del pistone sia uguale al lavoro di compressione eseguito sul gas. Il calcolo di Vf può essere effettuato anche applicando l'equazione Vf= Vi.(pi/pf)^(1/K): Vf = 0,002 x (1,013 E5/1,1111 E5) ^ 0,71428571 = 1,87 E-3 mc = 1870 cmc, che in pratica coincide fino alle centinaia con il valore ottenuto in precedenza (1829 cmc). Questa discordanza tra i due metodi è dovuta fisicamente al fatto che la compressione è stata considerata , solo idealmente, adiabatica (senza scambio di calore con l' ambiente), per la sua breve durata. In realtà il calcolo di Vf dovrebbe essere effettuato considerando la compressione pressochè isotermica, con K circa unitario ed ammettendo un piccolo scambio di calore con l'ambiente. Infatti, per la legge di Boyle relativa alle trasformazione isotermiche, si ha: Vf= Vi.(pi/pf) = 0,002 x (1,013 E5/1,1111 E5) = 1823,41 cmc, che differisce da 1829 per circa lo 0,3%. D'altra parte, se si considerasse l'espansione isotermica di n moli di gas,bisognerebbe conoscere la temperatura ambiente Ta, che invece non è stata assegnata, ed applicare la formula L = Pd = P (Vi - Vf)/S = -integrale (da Vi a Vf) di pdV = - integrale (da Vi a Vf) di nRTa dV/V = - nRTa ln (Vf/Vi) = nRTa ln (Vi/Vf), con la notevole complicazione di dover risolvere numericamente un'equazione trascendente per determinare Vf: P(Vi - Vf)/S = nRTa ln (Vi/Vf). E' molto più semplice pertanto considerare la compressione adiabatica ed applicare successivamente, per una migliore approssimazione, l'equazione della trasformazione isotermica.
Tanti cordiali saluti

Egregio prof.re, dovrà scusarmi se sono insistente sull'argomento della termodinamica ma, studiando il problema precedentemente illustrato da Lei, ho provato a sostituire un numero con uno più grande e mi sono accorta che i conti non tornano. Avrò sicuramente commesso degli errori che Lei, gentilmente come suo solito con la sua sapienza ed umiltà è in grado di aiutarci. - Aumentando il peso da 10 Kg. a 1000Kg., si otterrà: 1000x9,81= 9810N mentre, la Pf= Pa+P/S=1,013x10^5+9810/0, 01=11111000N/mq, quindi procedendocon l'equazione per ottenere il valore del Vf: ((9810x-0,4)-( 1,013x10^5x0,01))x0,002/(( 9810x-0,4)-( 1,1111x10^7x0,01))= 9874/115034=0,085835 mc. E, procedendo con l'equazione di stato sempre per conoscere il Vf=Vix(Pi/Pf); Vf = 0.002 x (1.013x10^5/1,1111 x 10^7)= 1.8234 x 10^-5 mc., da cui si evince che i due valori non sono uguali.ed inoltre il valore trovato doveva essere inferiore a quello precedente. Le chiederei ancora un piccolo chiarimento sull'equazione del lavoro di compressione in Lc = (PfxVf) - (PixVi)/ 1-K, osservando i primi due fattori (Pfx Vf), si nota che diminuendo il Vf, diminuisce anche il valore del lavoro . semprerebbe un controsenso poichè è naturale che per ridurre il volume iniziale occorra una forza in proporzione al volume ridotto. La saluto e La ringrazio tantissimo.

Gent.ma Francesca,
Anzitutto segnalo l'errore nel calcolo di Pf: il calcolo esatto è: pressione iniziale + ( peso/sezione pistone) = 1,013E5 + 9810/0,01 = 101300 + 981000 = 1082300 N/mq = 1,0823 E6 N/mq., e non (pressione iniziale + peso)/sezione pistone = (101300 + 9810)/0,01 = 111110/0,01 = 11111000 N/mq. Pertanto Vf = (- 9810 x 0,4 - 101300 x 0,01) x0,002/(- 9810 x 0,4 - 1082300 x 0,01) = (- 3924 - 1013) x 0,002/(- 3924 - 10823) = 4937 x 0,002/14747 = 0,000669559 mc = 669,559 cmc.
Applicando invece la legge di Boyle si ha: Vf = piVi/pf = 101300 x 0,002/1082300 = 0,000187193 mc = 187,193 cmc.
La notevole diversità dei valori ottenuti, se si fa il confronto con il caso precedente (P = 10 Kg = 98,1 N), è dovuta al fatto che non è più valida l'approssimazione precedente, per quanto concerne il moto di discesa del peso. Nel caso precedente la pressione prodotta dal peso (98,1/0,01 = 9810 N/mq) è pari a circa il 10 % (9,68 % ) della pressione iniziale; pertanto si può fare un'analisi dinamica approssimata, considerando trascurabile la variazione di energia cinetica rispetto alla variazione di energia potenziale che si converte in lavoro di compressione (positivo) fatto sul gas.
Nel caso precedente, mentre il lavoro fatto dal peso è L = Pd = 98,1 x 0,017 = 1,6677 J, il lavoro di compressione è L = (piVi - pfVf) /(1-K) = (202,6 - 203,22)/(-0,4) = 1,55 J.
La differenza , pari a 0,1177 J (circa 7 %) corrisponde alla variazione di energia cinetica ed al calore trasferito all'ambiente per il difetto d'isolamento termico del sistema.
L'equazione differenziale del moto della massa M è : Mdv/dt = M(d^2 y/dt^2) = Mg - pS = Mg - [pi (Vi/V)^K]S = Mg - [pi (S yi/S y)^K] S = Mg - [pi (yi/y)^K] S .
Il termine dipendente dalla quota y si può considerare quasi costante, in prima approssimazione, soltanto se, come nel caso precedente, la variazione di y (corsa d = yi - yf) è piccola (1,7 cm) (yi = 0,002/0,01 = 0,2 m = 20 cm, circa uguale a yf), il che equivale a considerare quasi uguali i volumi Vi (2000 cmc) e Vf (1829 cmc). Soltanto facendo quest'approssimazione si può semplificare la soluzione, ritenendo pressochè uniformemente accelerato (con accelerazione costante a = dv/dt = g - pi S/M = 9,81 - 101300x 0,01/10 = (9,81 - 101,3) m/s^2 = -91,49 m/s^2 ) il moto di M.
In particolare, se M fosse tale da ottenere l'uguaglianza tra g e piS/M (a = 0), il moto di M avverrebbe con velocità costante .
In realtà, poichè un gas compresso in un volume variabile (come avviene in uno pneumatico al crescere del carico) consente di ottenere un sistema elastico (molla) con costante di forza variabile, durante la discesa del pistone si manifestano delle oscillazioni armoniche che vanno smorzandosi soltanto quando viene raggiunta la posizione di equilibrio corrispondente al volume finale.
La soluzione esatta del problema dovrebbe essere impostata considerando altri dati, cioè sia le velocità iniziale e finale del pistone (rilevabili sperimentalmente) e la conseguente variazione di energia cinetica del pistone, sia l'approssimativa adiabaticità della trasformazione (mediante un esponente K' di V da valutare sperimentalmente, in sostituzione di K= 1,4, per tener conto del calore Q ceduto all'ambiente, da misurare con un calorimetro contenente il sistema):
Mg yi + (1/2) Mvi^2 = (pi Vi - pfVf)/(1-K') + Mg yf + (1/2) Mvf^2 + Q;
L = Mg(yi - yf) = Pd = (pi Vi - pfVf)/(1-K') + (1/2)M [vf^2 - vi^2] + Q.
Se , in particolare, vi = 0, si ha: Pd = (pi Vi - pfVf)/(1-K') + (1/2)M vf^2 + Q.
Per quanto riguarda il lavoro di compressione (positivo) fatto sul gas ed opposto a quello, negativo,fatto dal gas che subisce la compressione, si ha:
L = (pi Vi - pfVf)/(1-K) = [pi Vi - pi ((Vi/Vf)^K) Vf]/(1-K) = [pi Vi - pi (Vi^K) Vf^(1-K)]/(1-K) =
[pi Vi - pi (Vi^K) Vf^(-(K-1))]/(1-K) = [pi Vi - pi (Vi^K) /(Vf^(K-1))]/(1-K)=
= piVi [1 - (Vi/Vf)^(K-1)]/(1-K) = piVi[(Vi/Vf)^(K-1) -1]/(K-1).
L'espressione ottenuta mostra chiaramente che al decrescere del volume, il termine (Vi/Vf)^(K-1) aumenta, incrementando tanto più il lavoro L quanto minore è il volume finale.
Tanti cordiali saluti.

Egregio prof.re,
possibilmente mi potrebbe spiegare perchè si stabilisce una differenza quantitativa tra due lavori e cioè:
-se si comprime l'aria con un pistone in un cilindro contenente dell'aria a pressione atmosferica con una forza di x Newton per una corsa y metri si sarà compiuto un lavoro di z Joule, mentre le calorie ovvero i KJ accumulati dall'aria compressa nel volume finale, sono molto inferiori a quelli del lavoro iniziale. E' possibile che ci sia questa notevole differenza, o è frutto della mia imperfezione di studio? Se fosse possibile ,sinteticamente mi potrebbe spiegare l'argomento numericamente?
La ringrazio tantissimo Francesca

Gent. ma Francesca,
L'errore di interpretazione sta nel fatto che le variabili che determinano il lavoro che viene compiuto in una trasformazione adiabatica, sono le pressioni e i volumi iniziali e finali della massa gassosa e non soltanto il prodotto della pressione iniziale per il volume iniziale. Se invece la trasformazione è isobarica (a pressione costante), il lavoro è determinato dal prodotto della pressione per la variazione di volume. In altri termini, mentre il prodotto pV non ha significato fisico, sono energeticamente importanti soltanto le sue variazioni durante una trasformazione.
Esempio numerico:
Consideriamo la compressione isobarica di una mole di gas (aria) contenuta in un cilindro non isolato termicamente dall'ambiente e chiuso da un pistone di sezione S = 0,008 mq = 80 cmq , scorrevole senza attrito per effetto di una forza costante F = 2400 N, il cui punto di applicazione si sposti di s = 0,125 m. Il lavoro compiuto dalla forza F sul gas è Lm = Fs = (2400 x 0,125) J = 300 J, mentre il lavoro di compressione compiuto dal gas è Lc = - Lm = - 300 J.
La pressione costante esercitata da F sul gas è p = F/S = 2400/0,008 = 3x10⁵ N/mq.
Applicando l'equazione di stato si ha: Lc = p DV = nRDT; DV = V_f - V_i = Lc/p = -300/3x10⁵ = - 0,001 mq = -1 dmc = - 1 litro (l.).
La variazione di temperatura è DT = Lc(nR) = -300/(1 x 8,31) = -36,1 °K.
Se T_i = 303 °K (30 °C), si ha:
V_i = nRT_i/p = 1 x 8,31 x 303 / 3x10⁵ = 0,008393 mc = 8,393 l.
T_f = T_i + DT = 303 - 36,1 = 266,9 °K (- 6,1 °C);
V_f = nRT_f/p = 1 x 8,31 x 266,9 / 3x10⁵ = 0,008393 mc = 0,007393 mc = 7,393 l. .
Applicando il primo principio della termodinamica, si ha:
DQ (calore, negativo,trasferito dal gas all'ambiente = C_p(T_f - T_i )= DU (variazione, negativa, dell' energia interna: D U = C_v(T_f - T_i )del gas) + Lc (lavoro di compressione, negativo, compiuto dal gas).
C_p (calore molare dell'aria, a pressione costante) = C_v(calore molare dell'aria, a volume costante) + R = (4,96 x 4,18 + 8,31) J/(mole °K) = 29,042 J/(mole °K).
DQ = C_pDT = 29,042 x (-36,1) = -1048,41 J.
D U = C_vDT = 4,96 x 4,18 x (-36,1) = - 748,45 J.
In altri termini, il calore DQ = - 1048,41 J ceduto all'ambiente proviene per - 748,45 J dal decremento dell'energia interna del gas per effetto del raffreddamento a pressione costante da 303 °K a 266,9 °K e per - 300 J dal lavoro di compressione subito dal gas per effetto della forza costante F.
Compiuta la compressione isobarica alla pressione p_i' = 3x10⁵ N/mq, supponiamo di far compiere al gas un'espansione adiabatica dal volume iniziale V_i' = 0,007393 mc fino alla pressione finale p_f' = 1,013 x 10⁵ N/mq (1 atm).
Il volume finale sarà V_f' = (p_i'/p_f')^g = ( 300000/101300)^0,71428 x 0,007393 = 0,01605 mc.
Il lavoro (positivo) compiuto dal gas è L' = ( p_f'V_f' - p_i'V_i')/(1- g) = (101300 x 0,01605 - 300000 x 0,007393)/(-0,4) = (1625,86 - 2217,9)/(-0,4) = 1480 J.
Dall'espressione L' = [p_i'V_i'/(g -1)] {1 - [p_f'/p_i']^{[(g -1)/g]}}, ricavabile con facili passaggi, si deduce che, a parità di prodotto iniziale pressione x volume, il lavoro di espansione è tanto maggiore quanto minore è la pressione finale p_f'. Al limite, facendo tendere p_f' a zero, si calcola il massimo lavoro (teorico) eseguibile:
L'max = [p_i'V_i'/(g -1)] = 300000 x 0,007393 /0,4 = 5544,75 J.
Se invece il gas viene fatto espandere adiabaticamente fino al volume V_f' = 0,008393 mc, la pressione finale sarà p_f' = p_i' (V_i'/V_f') ^g = 300000 x (0,007393/0,008393)^1,4 = 251180 ,62 N/mq.
L' = ( p_f'V_f' - p_i'V_i')/(1-g) = (251180,62 x 0,008393 - 300000 x 0,007393)/(-0,4) = (2108,15 - 2217,9)/(-0,4) = -109,75/(-0,4) = 274,375 J.
Come si può notare, il lavoro di espansione, a parità di volume e pressione iniziali, dipende dai valori finali della pressione e del volume, che determinano l'entità della variazione dell'energia interna.
Tanti cordiali saluti

Egregio prof.re,
Le propongo un quesito di termodinamica, prendendo a prestito alcuni dati da problemi risolti:
-una forza con intensità costante di 1111,1 N, spinge un pistone della sezione di 0,01 mq e del peso di 10 Kg in un cilindro contenente aria. Il pistone, sollecitato dalla forza comprime l'aria alla pressione di 1,1111x10^5 N/mq in un volume finale di 0,001829mc. Immediatamente la forza cessa di comprimere, di conseguenza il pistone verrà spinto lungo il cilindro.
Supposto che il cilindro abbia una lunghezza infinita e che non ci siano attriti, che spazio percorrerà il pistone fino all'arresto?
Dovendo inoltre conoscere il valore medio della forza che spinge il pistone per farlo allontanare dal momento che cessa l'azione della forza di 111,11 N, come si potrebbe calcolarlo?
La saluto e La ringrazio tantissimo, Francesca

Gent. ma Francesca,
Supponiamo, per semplicità, che il cilindro sia disposto orizzontalmente e che pertanto non intervenga la forza-peso, per evitare di riconsiderare un quesito precedente.
Cessata l'azione della forza costante, il gas, dopo essere stato compresso alla pressione costante p_c = 1,1111 x 10⁵ N/mq , con un volume finale di 1829 cmc, si espande adiabaticamente fino a quando la sua pressione non ridiventi uguale alla pressione esterna (pressione atmosferica) p_a.
Il lavoro positivo di espansione compiuto dal gas sul pistone, (a spese della sua energia interna), L_p1 = (p_f1V_f1 - p_i1V_i1)/(1 - g ), da p_i1 = 1,1111 x 10⁵ N/mq, V_i1 = 0,001829 mc = 1829 cmc, a V_f1 (da calcolare), p_f1 = p_a = 1 atm = 1,013 x 10⁵, sommato al lavoro negativo L_n1 = - p_a(V_f1 - V_i1 ) compiuto dalla forza p_aS, uguaglia, per il teorema lavoro-energia, l'energia cinetica K = (1/2) Mv² acquisita dal pistone:
L_p1 + L_n1 = K.
K = (p_f1V_f1 - p_i1V_i1)/(1 - g ) - p_a(V_f1 - V_i1 ) .
Calcolato il volume finale V_f1 = V_i1(p_i1/p_f1)^1/g = 1829 x (1,1111 x 10⁵/1,013 x 10⁵)^0,7142 = 1953 cmc.
, si ottiene: K = (1,013 x 10⁵x 0,001953 - 1,1111 x 10⁵ x 0,001829)/(1 - 1,4) - 1,013 x 10⁵(0,001953 - 0,001829) = (197,83 - 203,22)/(-0,4) - 12,561 = 0,909 J.
A questo punto bisogna considerare che, a partire dall'istante in cui la pressione p del gas uguaglia quella atmosferica (p_a), il gas continua ad espandersi adiabaticamente effettuando il lavoro L_p2 a spese della sua energia interna, contro la forza costante p_a, mentre l'energia cinetica K acquisita dal pistone si converte in lavoro resistente fatto contro la forza p_aS. Si consideri che la forza risultante pS - p_a S, agente sul pistone e diretta verso la base del cilindro (essendo pS minore di p_a), aumenta a mano a mano che il volume aumenta e la pressione p diminuisce.
Pertanto, indicando con p_i2 = p_a la pressione iniziale, con V_i2 = V_f1 = 1953 cmc il volume iniziale, e con p_f2 e V_f2 rispettivamente la pressione finale ed il volume finale (nel punto di arresto), applicando il teorema lavoro-energia, si ha:
p_a(V_f2 - V_i2 ) (lavoro fatto contro la forza p_aS ) = K + L_p2 = K (energia cinetica acquisita dal pistone e che si converte in lavoro contro la forza p_aS) + (p_f2V_f2 - p_i2V_i2)/(1 - g ) (lavoro positivo di espansione compiuto dal gas contro la forza p_aS.
p_a(V_f2 - V_i2 )(1- g) = K(1- g) + p_f2V_f2 - p_i2V_i2.
Per ottenere p_f2 e V_f2 bisogna risolvere numericamente o graficamente (con una calcolatrice con display grafico) il seguente sistema:
1) p_f2 = [p_a(V_f2 - V_i2 )(1- g) - K(1- g) + p_i2V_i2]/V_f2;
2) p_f2 = p_i2 ( V_i2 /V_f2)^g ;
1) p_f2 = [1,013 x 10⁵ V_f2(-0,4) + 1,013 x 10⁵ x 1,953 x 10^-3 (0,4) + 1,013 x 10⁵ x 1,953 x 10^-3 + 0,909(0,4)]/V_f2 ;
2) p_f2 = 1,013 x 10⁵ (1,953 x 10^-3)^1,4/V_f2^1,4 = 16,315/V_f2^1,4
1) p_f2 = (-4,052 x 10⁴ V_f2 + 277,338)/V_f2 = = 277,338/V_f2 - 40520.
Rappresentate sul display le curve 1) e 2) , sono state lette le coordinate del loro punto d'intersezione, corrispondenti alla soluzione del sistema:V_f2 = 0,002404 mc = 2404 cmc e p_f2 = 74832,97 N/mq.
Indicando con d_o = volume dopo la compressione isobarica/S = 1829/S = 1829/100 = 18,29 cm. la distanza iniziale del pistone dalla base del cilindro, con d₁ = V_f1/S = 1953/100 = 19,53 cm. e con d₂ = V_f2/S = 2404/100 = 24,04 cm. rispettivamente il volume finale della prima espansione adiabatica ed il volume finale della seconda espansione adiabatica, si ottiene lo spostamento del pistone fino all'arresto sommando allo spostamento d₁ - d_o = 19,53 - 18,29 = 1,24 cm, relativo alla prima espansione, lo spostamento d₂ - d₁ = 24,04 - 19,53 = 4,51 cm. . Pertanto lo spostamento totale del pistone è d_T = (1,24 +4,51) cm. = 5,75 cm.
Se la pressione esterna p_a fosse idealmente nulla, il pistone acquisirebbe l'energia cinetica
K = ( - p_i1V_i1)/(1 - g ) = -1,1111 x 10⁵ x 0,001829)/(1 - 1,4) = (- 203,22)/(-0,4) = 508,05 J , con una velocità finale pari a sqrt(2 x 508,5 /10) = 10,0846 m/s, che, in assenza di attriti ed in virtù del principio d'inerzia, si manterrebbe costante, con uno spostamento idealmente infinito.
Con p_a diversa da zero, lo spostamento del pistone è tanto maggiore quanto minore è p_a.
Il valore medio della forza agente sul pistone si calcola nel modo seguente:
= [1/(d₂ - d₀)] integrale (da d₀ = V_i1/S a d₂ = V_i1/S ) di F(x) dx = [1/(d₂ - d₀)] integrale (da d₀ a d₂) di p(x) S dx = [1/(d₂ - d₀)] integrale (da d₀ a d₂) di [p_i1(V_i1/V(x))^g S - p_aS] = {[p_i1S d₀^g]/[(1 - g)(d₂ - d₀)]}[d₂^{1 - g} - d₀^{1 - g}] - p_aS = [1,1111 x 10⁵ x 0,01 x 0,001829^1,4/(-0,4 x (0,2404-0,1829))] x[0,2404 ^-0,4 - 0,1829 ^-0,4] - 1,013 x 10⁵ x 0,01 = [0,163249/(-0,023) ] x (1,7685-1,9729) - 1013 = (-7,097) x (- 0,2044) - 1013 = (1,45 - 1013) N = -1011,55 N.
. Tanti cordiali saluti.

Egregio prof.re,
tanto per approfondire argomenti di termodinamica, La prego di esaminare il seguente caso:
una forza di intensità costante di 250 N spinge un pistone della sezione di 80 cmq in un cilindro contenente aria a pressione atmosferica. Il volume iniziale è di 32400 cmc e la corsa che spazia il pistone è di 0,30 m. L'aria di seguito alla compressione raggiunge una certa pressione in un certo volume con una sua energia interna. Se tutto il gas viene fatto espandere in un altro cilindro di egual dimensioni rispetto a quello in azione, ed in cui il pistone si trova sul P.M.S., che valore avrà il lavoro che compirà il secondo cilindro a confronto del lavoro compiuto dalla forza di 250 N x 0,30 m? La saluto e le porgo i miei più sentiti ringraziamenti.
Francesca

Gent.ma Francesca,
Considerando che il gas , con volume iniziale V_i1 = 0,0324 mc = 32400 cmc, viene compresso isobaricamente alla pressione p_c = p_a + F/S = 1,013 x 10 ⁵ + 250/0,008 = 101300 + 31250 = 132550 N/mq, si calcola in base all'equazione di stato pV = nRT, il prodotto nDT tra il numero n di moli di gas ed il decremento DT della temperatura per effetto della cessione all'ambiente di calore DQ (negativo) a pressione costante e del concomitante decremento dell'energia interna DU, dove DV_i1 = - Sd = - 0,008 x 0,3 = - 2,4 x 10^-3 mc = -2400 cmc: n DT = pDV_i1/R = -132550 x 0,0024/8,31 = - 38,2815 moli x °K.
Il volume finale del gas compresso a pressione costante è V_f1 =V_i1 + DV_i1 = 32400 - 2400 = 0,03 mc = 30000 cmc.
Applicando l'equazione della trasformazione adiabatica, con p_i2 = p_c = 132550 N/mq, V_i2 = V_f1 =30000 cmc e V_f2 = V_i2 + V_i1 = 30000 + 32400 = 62400 cmc, si ha:
p_f2 (pressione al termine dell'espansione adiabatica) = p_i2(V_i2/V_f2)^g = 132550 x(30000/62400)^1,4 = 132550 x 0,35868 = 47543 N/mq.
Il relativo lavoro di espansione è (p_f2 V_f2 - p_i2 V_i2 )/(1 - g) = (47543 x 0,0624 - 132550 x 0,03)/(1 - 1,4) = (2966,683 - 3976,5)(-0,4) = 1009,817/0,4 = 2524,54 J.
Essendo Cv = 4,96 x 4,18 = 20,7328 J/(mole °K) e Cp = 20,7328 + R = 20,7328 + 8,31 = 29,0428 J/(mole °K), si calcolano il decremento dell'energia interna relativo alla compressione isobarica, DU = Cv (nDT) = - 20,7328 x 38,2815 J = -793,682 J ed il calore trasferito all'ambiente durante la compressione isobarica DQ = Cp(nDT) = - 29,0428 x 38,2815 = -1111,8 J. In base al primo principio della termodinamica il lavoro effettuato dalla forza F e dalla forza p_aS esercitata dalla pressione atmosferica è L = DQ - DU = 1111,8 J - 793,682 J = 318,11 J , mentre il lavoro compiuto dalla sola forza F è L(F) = F d = 250 x 0,3 = 75 J, molto minore del lavoro reso dal sistema durante l'espansione adiabatica (2524,54 J). Come al solito, questa notevole differenza dipende dal fatto che il lavoro di espansione durante la trasformazione adiabatica viene effettuato a spese dell'energia interna del gas, che equivale, dal punto di vista microscopico, alla somma delle energie cinetiche molecolari.
La maggior parte del lavoro di compressione (243,11 J = 318,11 J - 75 J) è effettuata dalla pressione atmosferica p_a.
Altra soluzione
Applicando l'equazione di stato e supponendo che sia, per es., n = 1,15 il numero di moli di gas, si determina la temperatura iniziale dell'aria all'inizio della compressione isobarica):
T_i1 = p_i V_i1/(nR) = 132550 x 0,0324/(1,15 x 8,31) = 449,39 °K (176,39 °C).
Si calcola l'abbassamento della temperatura dell'aria per effetto del calore ceduto all'ambiente e della concomitante diminuzione di energia interna, al termine della compressione isobarica alla pressione p_i = 132550 N/mq :DT = pDV/(nR) = -132550 x 0,0024/(1,15 x 8,31) = -33,288 °K.
Pertanto la temperatura al termine della compressione isobarica è T_f1 = T_i1 + DT = 449,39 - 33,288 = 416,1 °K (143,1 °C).
Di conseguenza, la temperatura all'inizio dell'espansione adiabatica è T_i2 = T_f1 = 416,1 °K.
Applicando l'equazione della trasformazione adiabatica, si ha:
T_f2 = T_i2(V_i2/V_f2)^{g - 1} = 416,1 x ((30000/62400)^{1,4 -1} = 416,1 x 0,48076 ^0,4 = 416,1 x 0,746 = 310,4 °K (37,4 °C).
Il lavoro compiuto dal gas durante l' espansione è pari al decremento, cambiato di segno, della sua energia interna:
L = - DU = - n Cv (T_f2 - T_i2) = - 1,15 x 20,7328 x (310,4 - 416,1) = 23,842 x 105,7 = 2520 J , valore che differisce dello 0,179 % da quello ottenuto considerando pressioni e volumi.
Tanti cordiali saluti

Egregio prof.re,
Le dovrei rivolgere una domanda apparentemente semplice:
- in che percentuale si potrebbe riottenere il lavoro speso per comprimere un gas, naturalmente eseguito da una forza che effettua una determinata corsa, senza tenere conto degli eventuali attriti?
La saluto e La ringrazio tantissimo
Francesca

Gent.ma Francesca,
Se si considera la compressione adiabatica di un gas, ottenuta impiegando un pistone costituito da un materiale termoisolante, scorrevole senza attriti in un cilindro fatto anch'esso di materiale termoisolante, essendo idealmente nulla la quantità di calore ceduta all'ambiente, per il primo principio della termodinamica il lavoro L compiuto da una forza F , crescente al decrescere del volume del gas (altrimenti la compressione sarebbe isobarica e bisognerebbe fare cedere calore al gas per realizzarla, dopo avere eliminato il termoisolamento) ed agente sul pistone lungo la corsa s, si converte integralmente in incremento DU dell'energia interna del gas, che a sua volta, cessata l'azione della forza, si riconverte integralmente in lavoro di espansione.
In particolare, essendo negativo il lavoro L = - integrale [F(s) ds], compiuto dal gas sul pistone (lavoro uguale e contrario a quello effettuato dal pistone sul gas) si ha: L = - DU = - (U_finale - U_iniziale) = - Cv (T_finale - T_iniziale). Si deduce che al termine della compressione adiabatica l'energia interna U aumenta di - L e la temperatura assoluta T aumenta in modo direttamente proporzionale all'aumento di U. Pertanto, cessata l'azione di F e lasciando espandere successivamente il gas, sempre in condizioni di termoisolamento e purchè l'espansione avvenga tra gli stessi valori delle variabili termodinamiche p,V e T, si riottiene al 100% il lavoro meccanico effettuato per comprimerlo.
Ovviamente il lavoro effettuato, sia esso positivo o negativo, può essere calcolato sia con la formula
L =(p_fV_f - p_iV_i)/(1 - g), sia attraverso la variazione di energia interna cambiata di segno:
L = -DU = - (U_f - U_i) = - Cv(T_f - T_i).
Esempio : Se il lavoro compiuto per comprimere aria , con temperatura iniziale T_i = 300 °K (27 °C) e calore specifico molare a volume costante Cv = 20,732 J/(mole °K), è Lp = 500 J , il lavoro di compressione Ln subito dal gas è pari a - 500 J, mentre è di 500 J l'incremento DU dell' energia interna , con una temperatura finale T_f = T_i + DU/Cv = 300 + 500/20,732 = (300 + 24,117) °K = 324,117 °K ( 51,117 °C). Pertanto, con un isolamento termico perfetto (ideale),il lavoro positivo compiuto dal gas nella successiva espansione adiabatica, essendo ottenuto a spese della diminuzione dell'energia interna (-500 J) , è Lp' = - (DU) J = - (-500 J) = 500 J, con un decremento di temperatura di 24 °K.
In queste condizioni ideali il sistema cilindro-pistone-gas si comporta analogamente ad un sistema elastico (massa-molla) , le cui variazioni di energia potenziale elastica (1/2) kx² uguagliano il lavoro compiuto o subito per effetto di uno spostamento Dx rispetto alla posizione di equilibrio x_o.
Tanti cordiali saluti

Egregio professore,
 a ) in un circuito in corrente alternata , mentre mi è facile comprendere perché un induttore fa sì che la corrente sia in ritardo rispetto alla tensione ( ovvio, visto che la corrente indotta contrasta la corrente originaria ), non mi riesce invece di capire perché un condensatore , che  comunque è un ostacolo alla corrente ( infatti vi è una reattanza capacitiva , dipendente dalla frequenza della c.a.) , possa far sì che la corrente sia in anticipo rispetto alla tensione.
Si dimostra matematicamente, per logica dev' essere così, perché condensatori e induttori hanno comportamenti antagonisti, ma a livello intuitivo non lo immagino .
Che forse le armature "attirano" gli elettroni più velocemente rispetto al loro normale flusso nella tensione ?
 b ) Non capisco poi , perché nei grafici che illustrano l'andamento di tensione e corrente rispetto al tempo, la tensione ovviamente parte da zero e quello della corrente, sia che nel circuito ci siano induttori che condensatori, no. Ma al tempo zero , non dev'essere zero tutto e quindi partire tutti dall' origine degl' assi ?
 Grazie . Francesco. Frattamaggiore ( Na )

Gent.mo Francesco,
a) Un condensatore caricato con un generatore di tensione continua (per es. una batteria con f.e.m. E e resistenza interna Ri), essendo nulla la tensione tra le armature all'istante t = 0 (di chiusura dell'interruttore del circuito di carica), si comporta a tutti gli effetti come un cortocircuito; di conseguenza all'istante t = 0
l' intensità di corrente I nel circuito di carica, cioè nei conduttori che collegano il condensatore ai poli del generatore, è limitata soltanto dalla resistenza interna Ri della batteria, e vale I (t = 0) = E/Ri (legge di Ohm). Considerando che la tensione V (t) = Q(t)/C tra le armature del condensatore va gradatamente aumentando a mano a mano che su di esse si accumulano le cariche elettriche opposte +Q(t) e - Q(t), si comprende come l'intensità di corrente di carica I(t) (decrescente in funzione del tempo con legge esponenziale) sia la causa dell'accumularsi delle cariche sulle armature e quindi anche dell' aumento della tensione tra le stesse. Essendo la corrente di carica la causa dell'aumento della tensione, si deduce che gli andamenti variabili della tensione tra le armature, prodotti da una tensione di alimentazione non più continua ma alternata, debbano seguire come effetti gli andamenti variabili della corrente di carica e di scarica: un andamento crescente della corrente di carica è seguito con un certo ritardo (da 0 a 1/4 di periodo a seconda dei valori della resistenza e della capacità inserite nel circuito) da un andamento crescente della tensione, mentre un successivo andamento decrescente della corrente è seguito, con un ritardo uguale a quello dell'andamento crescente, da un andamento decrescente della tensione. In regime sinusoidale permanente (in corrente alternata), si dimostra che la sinusoide della corrente è in anticipo (da 0 a 1/4 di periodo) rispetto alla sinusoide della tensione tra le armature.
Nell'induttore (L) invece, essendo la f.e.m. autoindotta la causa dell'andamento, crescente o decrescente, della corrente, è la sinusoide della corrente ad essere sfasata in ritardo (da 0 a 1/4 di periodo in funzione dei valori di R ed L) rispetto alla sinusoide della tensione. L'inserimento di induttori e condensatori in un circuito in corrente alternata fa sì che l'anticipo della corrente rispetto alla tensione prodotto dai condensatori , sia compensato parzialmente o totalmente (nella particolare condizione di risonanza) dal ritardo della corrente rispetto alla tensione prodotto dagli induttori. Si dice anche che, mentre l'induttore tende ad opporsi alle variazioni dell'intensità di corrente, il condensatore tende ad opporsi alle variazioni di tensione: quanto maggiori sono rispettivamente i valori di L e C, tanto minori sono rispettivamente le variazioni dell'intensità di corrente DI = DV/(6,28 f L) per una data variazione di tensione e le variazioni della tensione tra le armature, per una data variazione di intensità di corrente DV = DI/(6,28 f C), per una data frequenza f della corrente alternata.
b) Considerando per semplicità i soli casi di circuiti induttivi-resistivi e capacitivi-induttivi in fase transitoria, si nota come nel circuito induttivo-resistivo, l'annullamento iniziale dell'intensità di corrente sia dovuto al fatto che la f.e.m. autoindotta all'istante t = 0 equilibra esattamente la f.e.m. del generatore di tensione continua e come invece, nel circuito capacitivo-induttivo, se il condensatore è inizialmente scarico, sia nulla la tensione tra le armature per l'assenza iniziale di cariche sulle stesse, mentre l'intensità di corrente iniziale è massima per il fatto che il condensatore si comporta come un cortocircuito.
Se invece si considera un circuito costituito da un generatore di tensione continua con f.e.m. E, da un condensatore C, da un induttore L e da un piccolo resistore R minore di sqrt(4L/C) (resistenza critica), chiuso il circuito, il condensatore raggiunge la tensione finale di carica (E) dopo una serie di oscillazioni sinusoidali smorzate che, partendo da valori iniziali nulli , V(0) e I(0), interessano sia la tensione V(t) ai capi del condensatore, sia l'intensità di corrente I(t).
Infatti, essendo molto contenuta la dissipazione di potenza nella piccola resistenza R (per effetto Joule), si verificano periodiche conversioni dell' energia elettrostatica (1/2)CV² immagazzinata nel condensatore in energia magnetica (1/2)LI² immagazzinata nell'induttore, e viceversa,in modo analogo a quanto si verifica in meccanica durante le oscillazioni di un ammortizzatore a molla, nel quale l'energia elastica della molla si converte in energia cinetica, e viceversa.
Le oscillazioni smorzate (con ampiezza decrescente con legge esponenziale) che si osservano nel predetto circuito RLC, con R minore della resistenza critica,si osservano anche durante la scarica del condensatore (scarica oscillante), quando cioè,caricato il condensatore ed eliminato il generatore di tensione continua, la chiusura del circuito determina il passaggio di una corrente sinusoidale oscillante di scarica, inizialmente nulla, ed il decremento, anch'esso oscillante, della tensione ai capi del condensatore, con tensione iniziale V(0) = E, fino alla scarica completa del condensatore. Le correnti e le tensioni oscillanti ad alta frequenza generate da un circuito oscillante RLC servirono ad Heinrich Hertz per sperimentare la propagazione delle onde elettromagnetiche a breve distanza (all'interno del laboratorio), ed a Guglielmo Marconi per la realizzazione del primo sistema radiotelegrafico basato sulla propagazione delle onde elettromagnetiche a grande distanza.
Attualmente tutte le correnti e tensioni oscillanti necessarie nei sistemi di telecomunicazioni (radio, televisivi, satellitari e cellulari) si generano con dispositivi microelettronici a semiconduttori (transistor e circuiti integrati) inseriti in minicircuiti oscillanti RLC, costituiti dall'induttanza L di alcune piccole spire di filo di rame (radio FM), o da quella di una piccolissima pista di rame di una scheda miniaturizzata a circuito stampato (televisori e telefoni cellulari),e da un diodo a semiconduttore a capacità variabile (varicap),che costituisce il condensatore di accordo (di sintonia) alla frequenza di lavoro ed il cui funzionamento è gestito automaticamente dal microprocessore del sistema di selezione dei canali.
Le tecnologie si evolvono, ma i principi di funzionamento sono sempre gli stessi: il vecchio si riveste di nuovo e rivive nel nuovo, anche se spesso, soprattutto le giovani generazioni, non si rendono conto di questo, non riconoscendo nelle varie tecnologie avanzate gli immutabili principi delle scienze fisiche e confondendo, spesso,le prime con le seconde, per carenza di formazione scientifica, soprattutto da ascrivere alla vetustà ed all'obsolescenza dell'insegnamento delle scienze,in particolare della fisica, nella scuola italiana, eccezioni a parte. Si consideri, per esempio, che nei licei classici e scientifici, sulla base della vecchia composizione delle cattedre, risalente al 1924, si mantengono tuttora accorpate le cattedre di matematica e fisica, senza voler comprendere che la fisica deve essere insegnata da laureati in fisica,sia per per la forma mentis tipica dei fisici, sia per le specifiche ed innovative metodologie teorico-sperimentali che attualmente sono indispensabili per motivare ed entusiasmare i giovani allo studio della fisica.
E' indispensabile ed urgente la separazione dei due insegnamenti.
Si pensi infatti che generalmente, tranne lodevoli eccezioni, i programmi di fisica nelle scuole medie superiori vengono svolti molto limitatamente, non considerando, per esempio la fisica quantistica che è fondamentale per la comprensione dei principi di funzionamento di tutti gli attuali dispositivi e sistemi tecnologici avanzati (memorie elettroniche,laser, computer, telefoni cellulari e satellitari), e soprattutto dei dispositivi e sistemi nanotecnologici, (natotubi, cristalli fotonici, materiali nanostrutturati) oggetto di ricerche avanzatissime nei laboratori mondiali all'avanguardia nella progettazione del futuro dei prossimi 50 anni. E poi ci si lamenta del fatto che in Italia c'è la crisi delle iscrizioni alle facoltà scientifiche dure. Bella scoperta!!!
Finchè i politici continueranno a fare i miopi e non vorranno capire che investire in cultura significa investire in tempi lunghi in ricerca e sviluppo per realizzare brevetti e quindi ricchezza, la situazione non cambierà e saremo destinati ad un declino irreversibile.
Tanti cordiali saluti

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